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邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，是河北省地级市，河北省政府批复确定的京津冀城市群节点城市、河北省级历史文化名城、冀中南先进制造业基地和物流枢纽 [1]  。截至2020年，全市下辖4个区、12个县、代管2个县级市。 [2]  总面积12400平方千米，市区建成区面积214.84平方千米，常住人口739.52万人，城镇人口401.04万人，城镇化率54.23%。 [3-5] 

邢台地处中国华北地区、河北南部，境内京广、京九铁路，京广、京九高铁，京港澳、大广、太行山高速纵贯南北；邢和、邢黄铁路，邢衡、邢汾、邢临、青银高速横贯东西，与邢台国际内陆港、邢台机场构成了“东出西联、南承北接”的交通枢纽。 [6] 

邢台拥有3500余年建城史，距今五万至十万年前就有人类栖息繁衍，历史上曾四次建国、五次定都，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，是华夏版图上建城历史排名第三的城市 [7]  ，华北历史上第一座城市，中国最早的古都之一，历经三千多年行政建制未曾中断、城址未曾迁移。邢台古城是黄河以北地区建城最早的“第一古城”，被誉为“燕赵第一城”。 [8] 

邢台悠久的历史涌现出郭守敬、李牧、宋璟、刘秉忠等先贤，走出了郭威、柴荣、孟知祥、孟昶等帝王，千古一帝秦始皇东巡途中驾崩于邢台沙丘 [9-10]  。 邢台也是唐朝皇室祖籍地（唐祖陵） [11-14]  ，发生过尧舜禅让、胡服骑射、巨鹿之战、黄巾起义等影响中国历史进程的事件，有破釜沉舟、鹿死谁手、民脂民膏、腹背受敌等近百条成语、典故源自邢台。

4. 选择语句。如果O(f1(n))和O(f2(n))分别是if部分和else部分的运行时间（如果没有else部分，则O(f2(n))为0），那么选择语句运行时间的上界就是O(1+max(f1(n),f2(n)))。“1+”表示条件测试，在f1(n)和f2(n)至少有一个为正数的一般情况下，这个“1+”是可以忽略的。此外，如果f1(n)和f2(n)中有一个是另一个的大O，那么该表达式如3.5节习题(5)中所述那样可以简化为二者中的较大者。图3-14表示了if语句运行时间的计算。

图 3-14　计算不含函数调用的if语句的运行时间

5. 程序块。如果程序块中各语句的运行时间上界分别是O(f1(n))、O(f2(n))、…、O(fk(n))，那么整个程序块运行时间的上界就是O(f1(n)+f2(n)+…+fk(n))。如果可能的话，请使用求和规则简化这个表达式。程序块运行时间的计算规则如图3-15所示。

图 3-15　计算不含函数调用的程序块的运行时间

可以应用这些规则，从较小的语句开始向上遍历表示复合语句构造的结构树。或者，可以将这些规则的应用视为从递归依据所涵盖的简单语句开始，逐步变成更大的符合语句，在每一步应用5种归纳规则中任意一种合适的规则。不管我们怎样看待计算运行时间上界的过程，都需要在分析过组成复合语句的所有语句之后，再对复合语句加以分析。

示例 3.21

我们来重新审视一下图3-11中的排序程序，它的结构树如图3-12所示。首先，已知图3-12中树叶位置的每条赋值语句所花的时间为O(1)。继续向树的上方行进，就会遇到第(4)行和第(5)行的if语句。从示例3.15中可以回想起这一复合语句所花的时间为O(1)。

接下来随着向上遍历该树（或者说从较小语句向它们所围绕的较大语句行进），就必须分析第(3)行至第(5)行的for循环。示例3.14就是完成这一工作的，从中可得出运行时间为O(n-i-1)。在这里，我们选择将运行时间表示为具有n和i两个变量的函数。这一选择给我们带来了一些计算上的困难，而正如接下来将要看到的，其实可以选择O(n)这个更松散的上界。要以O(n-i-1)作为边界，就必须从图3-11的第(1)行看出i从不可能有n-1这么大。因此n-i-1是严格大于0的，并主导O(1)。所以，我们不需要在O(n-i-1)之外加上初始化for循环的指标j所花的时间O(1)。

现在到了第(2)行至第(8)行的程序块。正如示例3.17中所描述的，该程序块的运行时间是对应4条赋值语句的4个O(1)的和，加上第(3)至第(5)行复合语句的O(n-i-1)。根据求和规则，以及我们看出的i<n 的结论，可以舍弃这些O(1)，留下O(n-i-1)作为这个程序块的运行时间。

最后，必须考虑从第(1)行到第(8)行的这个for循环。该循环在3.6节中没有得到分析，不过我们可以运用归纳规则(3)。该规则需要循环体（也就是第(2)行至第(8)行）的运行时间上界。我们刚确定了该程序块的边界为O(n-i-1)，这展现了之前从未见过的情形。尽管i在该程序块内是个常量，然而i是外层for循环的循环指标，会随着循环变化。因此，我们不能将边界O(n-i-1)视作该循环全部迭代的运行时间。好在从第(1)行可以看出i不会小于0，所以O(n-1)是O(n-i-1)的上界。此外，根据低阶项不产生影响的规则，可以将O(n-1)简化为O(n)。

接下来需要确定循环进行的次数。因为i是从0到n-2，所以显然要循环n-1次。用n-1乘上O(n)，便得到O(n2-n)。再次舍去低阶项，就得到O(n2)是整个选择排序程序的运行时间上界。也就是说，选择排序的运行时间具有二次的上界。该二次上界是可能存在的最紧上界了，因为可以证明，如果这些元素一开始是倒序排列的，那么选择排序就要进行n(n-1)/2次比较。

一如我们将要看到的，可以为归并排序得出n logn 的运行时间边界。在实践中，除了对那些小的n值之外，归并排序要比选择排序更高效。归并排序有时比选择排序慢的原因就在于，O(n logn)的上界与选择排序的边界O(n2)相比，隐藏了一个更大的常数。真实的情况是一对交叉的曲线，如3.3节中的图3-2所示。

3.7.3　循环运行时间更精确的上界

我们已经说过，要评估循环的运行时间，需要找出适用于循环每一次迭代的统一边界。不过，对循环更为细致的分析要分开处理每次迭代，并为每次迭代的上界求和。从技术上讲，必须将递增循环指标（如果循环是for循环）和测试循环条件的时间包括在内，以防出现操作的时间能引起决定性变化的罕见情况。一般来讲，更加细致的分析并不会改变答案，虽然在一些不寻常的循环中大多数迭代只花费很少时间，而一次或几次迭代却占据大量运行时间（这会使这种循环每次迭代时间之和，要明显小于迭代次数乘上每次迭代可能花的最大时间的积）。

示例 3.22

我们要对选择排序的外层循环进行这种更精确的分析。尽管付出了额外的努力，可还是会得到二次的上界。正如示例3.21所示，当指标变量i的值为i 时，外层循环此次迭代的时间为O(n-i-1)。i的范围是0到n-2，因此所有迭代所花时间的上界就是。这个和式中所有项形成了一个算术级数，所以可以利用公式“第一项和最后一项的平均数乘以项数”。该公式告诉我们：

忽略低阶项和常数因子，可以看到O(0.5n2-0.5n)与O(n2)是相同的。这样就再次得出了结论：选择排序具有二次的运行时间上界。

示例3.21中的简单分析与示例3.22中更细致分析的区别如图3-16所示。在示例3.21中，将任一次迭代可能花费的最大时间当作每次迭代的时间，因此得到了长方形的区域作为图3-11中for循环运行时间的边界。在示例3.22中，通过图中的对角线为每次迭代确定了运行时间边界，因为每次迭代的时间是随着i 线性递减的。因此，可以得出该三角形的面积以作为对运行时间的估计。不过，众所周知，图中三角形的面积是长方形面积的一半。因为常数因子2与其他被大O表示法隐藏的常数因子一样会消失，所以这两个运行时间上界其实是一样的。

图 3-16　对循环运行时间的简单估算和精确估算

3.7.4　习题

1. 图3-17中的C语言程序会计算数组A[0..n-1]中各元素的平均值，并将最接近该平均值的元素的下标打印出来（若不止有一个这样的元素，则以先出现的为准）。假设n≥1，而且不含对空数组的必要检测。画出结构树，展示这些语句是如何进一步组成更复杂的语句的，并给出该结构树中每一语句运行时间的简单大O上界和紧大O上界。整个程序的运行时间是多少？

      #include <stdio.h>
      #define MAX 100
      int A[MAX];

     main()
      {
          int closest, i, n;
          float avg, sum;

 (1)      for (n = 0; n < MAX && scanf("%d", &A[n]) != EOF; n++)
 (2)          ;
 (3)      sum = 0;
 (4)      for (i = 0; i < n; i++)
 (5)          sum += A[i];
 (6)      avg = sum/n;
 (7)      closest = 0;
 (8)      i = 1;
 (9)      while (i < n) {
              /* 在下面的测试中为元素求平方，就不再
                 需要区分正数和负数的差异了。 */(10)          if ((A[i]-avg)*(A[i]-avg) <
                (A[closest]-avg)*(A[closest]-avg))(11)                  closest = i;(12)          i++;
          }(13)      printf("%d\n",closest);
      }复制代码

图 3-17　习题(1)的程序

2. 图3-18所示的程序段会将n×n的矩阵A变形。画出该程序段的结构树，给出每一复合语句运行时间的大O上界。

(a) 用n 和i 的函数表示两个内层循环运行时间的边界。

(b) 用n 的函数表示所有循环运行时间的边界。

对整个程序，你的答案和(a)、(b)部分之间是否存在大O差异？

(1)  for (i = 0; i < n-1; i++)(2)      for (j = i+1; j < n; j++)(3)          for (k = i; k < n; k++)(4)              A[j][k] = A[j][k] - A[i][k]*A[j][i]/A[i][i];复制代码

图 3-18　习题(2)的程序

3. * 图3-19中的程序段对范围从1到n的整数i应用了示例3.8中讨论的“2的乘方”操作。画出该程序段的结构树，给出每一复合语句运行时间的大O上界。

(a) 用i 的函数表示该while循环运行时间的边界。

(b) 用n 的函数表示该while循环运行时间的边界。

对整个程序，你的答案和(a)、(b)部分之间是否存在大O差异？

(1)        for (i = 1; i <= n; i++) {(2)            m = 0;(3)            j = i;(4)            while (j%2 == 0) {(5)                j = j/2;(6)                m++;
               }
           }复制代码

图 3-19　习题(3)的程序

4. 图3-20中的函数会确定参数n 是否为质数。请注意，如果n 不是质数，它就可以被某个在2和之间的整数i整除。画出该函数的结构树，用n 的函数表示每一复合语句运行时间的大O上界。整个函数的运行时间又是多少？

     int prime(int n)
     {
         int i;(1)      i = 2;(2)      while (i*i <= n)(3)          if (n%i == 0)(4)              return FALSE;
             else(5)              i++;(6)      return TRUE;
     }复制代码

图 3-20　习题(4)的程序

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