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邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，是河北省地级市，河北省政府批复确定的京津冀城市群节点城市、河北省级历史文化名城、冀中南先进制造业基地和物流枢纽 [1]  。截至2020年，全市下辖4个区、12个县、代管2个县级市。 [2]  总面积12400平方千米，市区建成区面积214.84平方千米，常住人口739.52万人，城镇人口401.04万人，城镇化率54.23%。 [3-5] 

邢台地处中国华北地区、河北南部，境内京广、京九铁路，京广、京九高铁，京港澳、大广、太行山高速纵贯南北；邢和、邢黄铁路，邢衡、邢汾、邢临、青银高速横贯东西，与邢台国际内陆港、邢台机场构成了“东出西联、南承北接”的交通枢纽。 [6] 

邢台拥有3500余年建城史，距今五万至十万年前就有人类栖息繁衍，历史上曾四次建国、五次定都，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，是华夏版图上建城历史排名第三的城市 [7]  ，华北历史上第一座城市，中国最早的古都之一，历经三千多年行政建制未曾中断、城址未曾迁移。邢台古城是黄河以北地区建城最早的“第一古城”，被誉为“燕赵第一城”。 [8] 

邢台悠久的历史涌现出郭守敬、李牧、宋璟、刘秉忠等先贤，走出了郭威、柴荣、孟知祥、孟昶等帝王，千古一帝秦始皇东巡途中驾崩于邢台沙丘 [9-10]  。 邢台也是唐朝皇室祖籍地（唐祖陵） [11-14]  ，发生过尧舜禅让、胡服骑射、巨鹿之战、黄巾起义等影响中国历史进程的事件，有破釜沉舟、鹿死谁手、民脂民膏、腹背受敌等近百条成语、典故源自邢台。

3.7　边界运行时间的递归规则

在3.6节中，我们简略地描述了一些规则，它们用程序结构各部分的运行时间来定义整个程序结构的运行时间。例如，我们说过for循环的运行时间大致等于循环体所花的时间乘以迭代的次数。隐藏在这些规则背后的概念是，程序是使用归纳规则构成的，复合语句（循环、选择和其他由子语句组成的语句）通过这些规则由诸如赋值、读、写和跳转语句这样的简单语句组成。这些归纳规则涵盖循环的形成、选择语句及程序块等一系列复合语句。

我们要将一些构建C语言语句的句法规则表述为递归定义。这些规则符合经常出现在C语言教材中的那些定义C语言的语法规则。我们在第11章中还将看到，语法可以用作简洁递归表示法，来指明编程语言句法（syntax）。

更具防御性的程序设计

如果大家只是因为相信示例3.18中的数组A总会存在元素x，就认为它总会存在，那就太天真了。请注意，如果数组中不存在x，图3-10中的循环将最终会出错，因为它要试着访问一个超过数组上限的数组元素。

好在有一种简单的方法可以避免这一错误，而且不会给循环的每次迭代增加很多时间。我们允许数组末尾有第n+1个单元，而在开始循环前，将x 放在该单元中。那么确实能确定x 会出现在数组中的某个位置。当循环结束后，我们会测试是否有i=n。如果是，那么x 并非真正在数组中，我们会穿过数组到达作为哨兵（sentinel）的x 的副本。如果i<n，那么i 就表示x 出现的位置。带有这种保护功能的程序如下所示。

A[n] = x;i = 0;while (x != A[i])
   i++;if (i == n) /* do something appropriate to the case
                      that x is not in the array */else /* do something appropriate to the case
                      that x is found at position i */复制代码

依据。

C语言中的简单语句如下。

1. 表达式。包括赋值语句以及读和写语句，后者是对printf和scanf等函数的调用；

2. 跳转语句。包含goto、break、continue和return；

3. 空语句。

请注意，在C语言中，简单语句都是以分号结尾的，我们要将分号视为这些语句的一部分。

归纳。

以下规则让我们可以用较小的语句来构建语句。

1. while语句。如果S是语句，而C 是条件（带有算术值的表达式），那么

while (C )S

是语句。只要C 为真（具有非0的值），循环体S 就会执行。

2. do-while语句。如果S 是语句，而C 是条件，那么

do S while(C )

是语句。do-while循环和while循环类似，只不过do-while循环的循环体S至少会执行一次。

3. for语句。如果S 是语句，而E1、E2和E3是表达式，那么

for (E1; E2; E3) S

是语句。第一个表达式E1会进行一次评估，并指定循环体S 的初始化。第二个表达式E2是对循环终止的测试，会在每次迭代前进行评估。如果它的值不为0，那么循环体就会执行，否则该for循环就将终止。第三个表达式E3会在每次迭代后进行评估，并为循环的下一次迭代指定重初始化（递增）。例如，如下常见的for循环

for (i = 0; i < n; i++) S

其中S会迭代n 次，对应i 的值分别为1、2、3、…、n-1。在这里，i = 0是初始化，i < n 是终止测试，i++是重初始化。

4. 选择语句。如果S1和S2是语句，而C 是条件，那么

if ( C ) S1 else S2

是语句，而且

if ( C ) S1

也是语句。在第一种情况中，如果C为真（非0），就执行S1，否则就执行S2。在第二种情况中，只有当C 为真，才执行S1。

5. 程序块。如果S1、S1、…、Sn都是语句，那么

{S1 S2…Sn}

也是语句。

我们在上面没有列出开关语句，它形式复杂，但在分析运行时间时可以被当作嵌套的选择语句。

利用上述对语句的递归定义，就可以通过分辨程序的组成部分来解析程序。也就是说，首先有简单的语句，再进一步将这些简单的语句组成更大的复合语句。

示例 3.19

考虑图3-11所示的选择排序程序段。作为根据，第(2)行、(5)行、(6)行、(7)行和第(8)行的每次赋值都各为一条语句；而第(4)行和第(5)行组成了选择语句；第(3)行至第(5)行又组成了for语句；然后第(2)行至第(8)行组成了一个程序块；最后，整个程序段也是for语句。

(1)        for (i = 0; i < n-1; i++) {(2)            small = i;(3)            for (j = i+1; j < n; j++)(4)                if (A[j] < A[small])(5)                    small = j;(6)            temp = A[small];(7)            A[small] = A[i];(8)            A[i] = temp;
           }复制代码

图 3-11　选择排序程序段

3.7.1　程序结构的树表示

我们可以用如图3-12所示的树表示程序的结构。树叶（那些圆圈）是简单语句，而其他的节点则表示复合语句。6节点会被标记上它们所表示结构的种类，以及构成该节点所表示简单语句或复合语句的代码行。从每个表示复合语句的节点N 都会向下引出到达其“子节点”的连线。节点N 的子节点表示构成N 所表示复合语句的那些子语句。这样的树就称为程序的结构树。

6我们将在第5章中详细讨论树。

图 3-12　表示语句组合的树

示例 3.20

图3-12是图3-11所示程序的结构树。每个圆圈分别是表示图3-11中5条赋值语句的树叶。我们在图3-12中没有说明这5条语句是赋值语句。

在树的顶端（也就是“根”）是表示第(1)至第(8)行整个程序段的节点。for循环的循环体是由第(2)行至第(8)行组成的程序块。7该程序块是用根节点下方的节点表示的。而这个表示程序块的节点又有5个子节点，分别表示该程序块的5条语句。其中第(2)、(6)、(7)和第(8)行这4条是赋值语句，而第5条是第(3)行至第(5)行的for循环。

7更为详细的结构树还有表示for循环初始化表达式、终止测试表达式和重初始化表达式的子节点。

第(3)行至第(5)行表示for循环的节点又有表示其循环体（就是第(4)行和第(5)行的if语句）的子节点。而表示第(4)行和第(5)行if语句的节点又具有表示其组成语句（第(5)行的赋值语句）的子节点。

3.7.2　攀爬结构树以确定运行时间

正如递归构建的程序结构那样，我们可以使用类似的递归方法来定义程序运行时间的大O上界。就像在3.6节中那样，我们假定在下列几类表达式中都不存在函数调用。(1)构成赋值语句、打印语句、选择语句条件的表达式；(2)构成while循环、for循环和do-while循环条件的表达式；(3)for循环初始化或重初始化的表达式。唯一的例外是对诸如printf这样的读函数或写函数的调用。

依据。简单语句（也就是赋值、读、写或跳转语句）的边界是O(1)。

归纳。对于我们已经讨论过的5种复合结构，计算其运行时间的规则如下。

1. while语句。设O(f(n))是while语句循环体的运行时间上界，f (n)是通过递归地应用这些规则得到的。再假设g(n)是循环次数的上界。那么O(1+(f (n)+1)g(n))就是整个while循环的运行时间上界，其中O(f (n)+1)是循环体加上循环体后测试的运行时间上界。开头那个多出来的1表示循环开始前的第一次测试。在f (n)和g(n)都至少为1（或者如果不定义其值为1，则其值为0，我们就可以定义它们为1）的平常情况下，可以将该while循环的运行时间记为O(f (n)g(n))。这一运行时间的通用公式如图3-13a所示。

2. do-while语句。如果O(f (n))是循环体运行时间的上界，且g(n)是循环次数的上界，那么O((f (n)+1)g(n))就是该do-while循环的运行时间上界。这里“+1”表示的是循环每次迭代之末计算和测试循环条件的时间。请注意，对do-while循环来说，g(n)总是至少为1。在对所有n 都有f (n)≥1的情况中，do-while循环的运行时间为O(f (n)g(n))。图3-13b表示了计算普通情况下的do-while循环运行时间的方法。

3. for语句。如果O(f (n))是循环体运行时间的上界，且g(n)是循环次数的上界，那么for语句运行时间的上界就是O((1+f (n)+1)g(n))。因子f (n)+1表示每进行一次循环所花的时间。开头的“1+”表示第一次初始化，以及第一次测试为负从而导致循环体不执行这种可能。在f (n)和g(n)都至少为1，或者可重新定义为至少是1的一般情况下，for语句的运行时间是O(f (n)g(n))，如图3-13c所示。

图 3-13　计算不含函数调用的循环语句的运行时间

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