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磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1]  2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2] 

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1]  磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

12.4.6　利用真值表为逻辑表达式求值

只要表达式E 中不含太多变量，利用真值表针对所有可能的真值赋值计算和展示E 的值就是一种方便的方法。我们首先有对应E 中各变量的列，然后是按照从下到上为E 的表达式树求值的次序对应E 各子表达式的列。

在对表示某些节点的值的列应用运算符时，我们会用一种简单的方式为对应该运算符的列执行运算。例如，如果希望对两列取AND，就在两列都为1的那行中放上1，并在其他行中放上0。要是为两列求OR，就要在其中一列或者两列都为1的那几行中放上1，并在其他行中放上0。如果要为一列取NOT，就是为该列求补，如果那列有0，则放上1，反之亦然。最后再举个例子，对两列应用→运算符，只有在第一列为1且第二列为0时，其结果才是0，结果中的其他各行都是1。

其他一些运算符的规则留作本节习题。一般而言，我们会通过一行行地对所在行中各值应用运算符，以对各列应用运算符。

示例 12.6

考虑表达式E：(p AND q) → (p OR r )。图12-6给出了对应该表达式及其子表达式的真值表。(1)、(2)、(3)这3列给出了变量p、q 和r 的值的所有组合。第(4)列给出了子表达式p AND q 的值，只要第(1)和第(2)列的值都是1，该列的值就是1。而第(5)列给出了子表达式p OR r 的值，在第(1)列或第(3)列为1，或者第(1)和第(3)列都为1时，第(5)列的值是1。最后，第(6)列表示整个表达式E的值。它是通过第(4)和第(5)列得到的，除了第(4)列为1且第(5)列为0的情况外，这列的值都是1。因为不存在这样的行，所以第(6)行全是1，也就是说不管参数是什么，E的真值都是1。正如我们将在12.7节中看到的，这样的表达式称为“重言式”。

图 12-6　对应(p AND q ) → (p OR r )的真值表

文氏图和真值表

真值表与7.3节中讨论过的表示集合运算的文氏图之间存在着相似性。首先，并集运算就类似于真值的OR，而交集则类似AND。我们将在12.8节中看到，这两对运算满足相同的代数法则。就像涉及k 个集合作为参数的表达式会把文氏图分成2k个区域那样，具有k 个变量的逻辑表达式也会形成具有2k 行的真值表。此外，在这些区域与这些真值表行之间也存在自然的对应。例如，具有变量p、q 和r 的逻辑表达式就对应涉及P、Q 和R 这3个集合的集合表达式。考虑对应这些集合的文氏图：

在这里，区域0对应不在P、Q、R 任意一个中的元素构成的集合。区域1则对应着在R 中但不在P 或Q 中的元素。一般地讲，如果考虑3位区域编号的二进制表示，比方说是abc，那么如果a=1，则表示元素在P 中，如果b=1则在Q 中，而如果c=1则在R 中。因此，编号为(abc)2的区域就对应着p、q、r 分别具有真值a、b、c 时真值表的那行。

在处理文氏图时，表示两个集合并集的区域会包含对应两者中任一集合的区域。与此相似的是，在为真值表中的列求OR时，我们会在第一列有1的行与第二列有1的行的并集中放上1。类似地，文氏图中表示集合交集的区域就是只取重在这两个集合中的区域，而为列求AND就是在第一列有1的行与第二列有1的行的交集中放上1。

逻辑运算符NOT与集合运算符没有太多对应。不过，如果将所有区域的并集想象成个“全集”，那么逻辑NOT对应着取走一些区域，并生成文氏图中剩余区域组成的集合，也就是从全集中减去给定的集合。

12.4.7　习题

1. 给出计算真值表中两列的(a) NAND；(b) NOR；(c) ≡的规则。

2. 为以下表达式及它们的子表达式计算真值表。

(a) (p → q)≡(NOT p OR q)

(b) p → (q → (r OR NOT p))

(c) (p OR q) → (p AND q)

3. * 逻辑表达式p AND NOT q 对应什么集合运算符？（见之前比较文氏图和真值表的短文。）

4. * 给出说明→、NAND和NOR不具结合性的例子。

5. ** 如果布尔函数f 满足f (TRUE , x2, x3, …, xk ) = f (FALSE , x2, x3, …, xk )，则说f 是不依赖第一个参数的。同样，如果f 的第i 个参数在TRUE和FALSE之间变换却不会使f 的值改变，就可以说f 是不依赖第i 个参数的。有多少双参数布尔函数是不依赖它们的第一个或第二个参数（或两个参数都不依赖）的？

6. * 为具有两个变量的16种布尔函数构建真值表。这些函数中有多少种具有交换性？

7. 二元异或（exclusive-OR）函数⊕的定义是，当且仅当只有其中一个参数为TRUE时其值为TRUE。

(a) 画出⊕的真值表。

(b) ⊕是否具有交换性？它是否具有结合性？

12.5　从布尔函数到逻辑表达式

现在考虑从真值表设计逻辑表达式的问题。从作为逻辑表达式规范的真值表开始，目标则是找到具有给定真值表的表达式。一般而言，可以利用无数个不同的表达式，我们往往将选择限制到特定的运算符集合中，而且通常会希望表达式从某种意义上讲是“最简单的”。

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