磁县网站建设【磁县网络公司】磁县做网站、磁县微信公众号开发、磁县网站设计、磁县小程序制作

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磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1]  2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2] 

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1]  磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

12.3.3　布尔函数

任何表达式的“含义”都可以描述为从其参数的值到整个表达式的值的函数。例如，算术表达式x×(x+y)是接受x 和y（假如x 和y 是实数）的值，然后返回将两个参数相加并将和乘以第一个参数所得到的值。这一行为就类似如下C语言函数的行为

float foo(float x, float y){
    return x*(x+y);}复制代码

在第7章中我们了解到，函数是定义域和值域有序对的集合。我们还可以把x×(x+y)这样的算术表达式表示为定义域为实数对且值域为实数的函数。该函数是由形如((x,y),x×(x+y))的有序对构成的。请注意，各有序对的第一个组分本身也是有序对(x,y)。该集合是无限集，它所含的成员类似((3,4),21)或((10,12,5),225)。

类似地，逻辑表达式的含义就是接受真值赋值作为参数，并返回TRUE或FALSE的函数。这样的函数就叫作布尔函数。例如，逻辑表达式

E：p AND (p OR q)

就类似如下C语言函数

BOOLEAN foo(BOOLEAN p, BOOLEAN q){
    return p && (p || q);}复制代码

和算术表达式一样，布尔表达式也可以视作有序对的集合。各有序对的第一个组分是一种真值赋值，也就是以某指定次序为各命题变量给出真值的元组。而该有序对的第二个组分是表达式对应此真值赋值时的值。

示例 12.4

表达式E = p AND (p OR q)可以用由4个成员组成的函数表示。我们在表示真值时会把对应p的值放在对应q的值之前。那么((TRUE,FALSE),TRUE)就是将E表示为函数的集合中的一个有序对。它的含义是，当p为真且q为假时，p AND (p OR q)为真。我们可以通过示例12.3中所示的过程处理表示E的表达式树来确定该值。读者可以使用其他3种真值赋值为E求值，以此构建起E所表示的整个布尔函数。

12.3.4　习题

1. 针对所有可能的真值赋值，为以下表达式求值，从而将它们的布尔函数表示成集合论函数。

(a)p AND (p OR q)

(b)NOT p OR q

(c)(p AND q) OR (NOT p AND NOT q)

2. 编写C语言函数实现习题1中的逻辑表达式。

12.4　真值表

将布尔函数表示为真值表是很方便的，真值表中的各行对应着各参数真值所有可能的组合。表中有着对应各参数的列以及对应函数值的列。

图 12-2　对应AND、OR和NOT的真值表

示例 12.5

对应AND、OR和NOT的真值表如图12.2所示。这里用到了简略表示法，用1代表TRUE，用0代表FALSE，本章其他部分也将经常这样表示。因此对应AND的真值表就表示，当且仅当两个操作数都为TRUE时，结果才是TRUE，而第二个真值表则表示，当操作数有一个为TRUE或两个都为TRUE时，应用OR运算符的结果为TRUE，而第三个真值表说明，当且仅当操作数的值为FALSE时，应用NOT运算符的结果为TRUE。

12.4.1　真值表的大小

假设某布尔函数具有k 个参数，那么该函数的真值赋值就是具有k 个元素的表，各元素要么为TRUE，要么为FALSE。计算对应k 个变量的真值赋值数就是4.2节中考虑过的为分配计数问题的例子。也就是说，我们可以为这k 个项每个项分配两个真值之一。这就和用两种可选颜色粉刷k 所房屋的问题是类似的，因此真值赋值的数目是2k。

因此含k 个参数的布尔函数对应的真值表有2k 行，每一行都对应一种真值赋值。例如，如果k=2，则真值表有4行，分别对应00、01、10和11，正如我们在图12-2中看到的对应AND和OR的真值表那样。

尽管涉及两三个变量的真值表相当小。但k 元函数对应2k行这一事实说明，不用等到k 变得特别大，绘制真值表就会很难了。例如，含10个参数的函数就有逾1000行。在后面几节中我们还将了解到，尽管真值表是有限的，而且原则上讲可以表示出我们想知道的与布尔函数有关的一切，但它们呈指数式增长的大小通常迫使我们寻找其他理解、比较布尔函数或为其求值的方法。

理解“蕴涵”

蕴涵（implication）运算符→的含义可能不那么直观，因为必须利用到“假蕴涵一切”的概念。我们不应该把→和因果关系混为一谈。也就是说，p→q 可能为真，但p 并不是在任何情况下都会“导致”q。例如，设p 是“天在下雨”，q 是“苏带着伞”。我们可以断言p→q 为真。而且看起来似乎就是下雨导致苏带上她的伞。不过，也有可能苏是那种不相信天气预报而且不会一直带上雨伞出门的人。

12.4.2　布尔函数数量的计算

含k个参数的布尔函数对应真值表的行数是以k呈指数增长的，而不同k元布尔函数的数量增长得更快。要计算k元布尔函数的数量，可以注意到，正如我们所见，每个这样的函数都是由具有2k行的真值表表示的。每一行都会被赋予一个值，要么为TRUE，要么是FALSE。因此，含k个参数的布尔函数的数量就与具有2个值的2k项的分配的数量相同。这一数字是22k。例如，当k=2时，就有222=16个函数，而对k=5，存在225=232，或者说是大约40亿个函数。

在含两个参数的16种布尔函数中，我们已经遇到过其中的两个：AND和OR。其他一些函数中有些是微不足道的，比如不管参数为什么值都为1的函数。不过，还有一些双参数函数是很实用的，而且我们将在本节之后的内容中看到它们。我们还看到了实用的单参数函数NOT，而且大家也经常会用到具有3个或更多参数的布尔函数。

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