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燕郊镇，隶属于河北省廊坊市三河市，地处三河市西部，东、东南、南与大厂回族自治县接壤，西濒潮白河、隔河与北京市通州区相望，西北、北与高楼镇为邻， [7]  区域面积108平方千米，截至2018年，户籍人口351483人。 [6] 

民国三十七年（1948年），属三河县四区。1958年，为红星公社。1983年，改为燕郊镇。 [7]  截至2020年6月，燕郊镇下辖55个行政村。 [8] 

2018年，燕郊镇有工业企业796个，其中规模以上77个，有营业面积超过50平方米以上的综合商店或超市396个。

13.3.2　习题

1. 设计产生以下输出的电路，可以利用如图13-1所示的任何门。

(a) 输入x 和y 的奇偶校验（或者说和mod2）函数，当且仅当x 和y 中刚好有一个是1时输出为1。

(b) 输入w、x、y 和z 的多数（majority）函数，当且仅当输入中有3个或3个以上为1时输出是1。

(c) 输入w、x、y 和z 的函数，只有在输入全是1或全不是1的情况下输出是1。

(d) 12.4节习题7中讨论过的异或函数⊕。

2. * 假设图13-5a的电路被修改为门A 和门B 都是AND门，而且输入x 和y 一开始都是1。随着输入改变，在什么情况下输出会是1？

3. * 如果两个门都是OR门，重复习题2。

13.4　逻辑表达式和电路

要构建输出（表示为其输入的函数）与给定逻辑表达式输出相同的电路是相当简单的。反过来，给定组合电路，我们也可以为电路的各路输出（表示为其输入的函数）找到相应的逻辑表达式。而正如我们在示例13.2中看到的，同样的做法并不适用于时序电路。

13.4.1　从表达式到电路

给定具有某些逻辑运算符的逻辑表达式，我们可以根据它构建一个组合电路，该电路使用具有相同运算符的门，而且可以识别相同的布尔函数。我们构造的电路总是具有树的形式，所以可以通过对表达式的表达式树进行结构归纳以构造电路。

依据。如果表达式树是单个节点，该表达式只能是一路输入，比方说x。而该表达式对应的“电路”就会是电路输入x 本身。

图 13-7　对应表达式θ (E1,E2,…,En )的表达式树

归纳。而对归纳部分，假设所考虑的表达式树像图13-7这样。在根节点位置存在某个被称为θ 的逻辑运算符，例如θ 可以是AND或OR。根节点有n 棵子树，而且要对各子树的结果应用运算符θ 以产生整棵树的结果。

因为我们在进行结构归纳，所以可以假定归纳假设适用于子表达式。因此，存在对应表达式E1的电路C1、对应E2的电路C2，等等。

要为E构建电路，就要为运算符θ 选择一个门，并为该门提供n 路输入，其中各路输入按照次序分别是电路C1、C2、…、Cn的输出。而对应E 的电路的输出来自刚介绍的θ 门，电路构造如图13-8所示。

图 13-8　表示θ(E1,…,En)的电路，其中Ci 是表示Ei 的电路

我们所构建的电路是以显见的方式计算表达式的。不过，也可能存在产生相同输出函数但所使用的门更少或电路层级更少的电路。例如，如果给定的表达式是，那么我们构建的电路就会出现两个识别相同表达式x+y 的子电路。我们可以重新设计该电路，从而只使用一个这样的子电路，并为用到子表达式x+y 的其他地方提供该子电路的输出。

要改进电路设计，还可以进行其他更为疯狂的变形。就像高效算法的设计一样，电路设计也是门艺术，而且我们还将在本章后续的内容中看到一些和电路设计有关的重要技巧。

13.4.2　从电路到逻辑表达式

现在来考虑一下相反方向的问题，为组合电路的输出构造逻辑表达式。因为我们知道组合电路的图是无环的，所以可以选定其节点（即电路中的门）的拓扑次序，而且具有如下属性：如果该次序中第i 个门的输出被提供给第 j 个门的输入，那么i 一定小于j。

示例 13.3

图13-2所示电路中的门可能的拓扑次序之一是ABCDE，而另一拓扑次序是BCDAE。不过ABDCE不是拓扑次序，因为门C 要为门D 提供输入，但该序列中D 却出现在C 之前。

要从电路构建表达式，就要使用归纳构造。这里将通过对i 的归纳证明如下命题。

命题 S(i )。对拓扑次序中的前i 个门来说，存在与这些门的输出对应的逻辑表达式。

依据。依据是i=0。因为要考虑的是0个门，就没什么要证明的，所以依据部分是成立的。

归纳。而对于归纳部分，要看看拓扑次序中的第i 个门。假设门i 的输入是I1、I2、…、Ik 。如果Ij 是电路的输入x，那么令对应输入Ij 的表达式Ej 是x。如果Ij 是其他某个门的输出，那么该门在该拓扑次序中一定先于第i 个门，这表示我们已经为该门的输出构建了某个表达式Ej。设与门i 相关联的运算符为θ，那么对应门i 的表达式就是θ(E1,E2,…,Ek )。在θ 是约定使用中缀表示法的二元运算符的一般情况下，门i 的表达式就可以写为(E1)θ (E2)。虽然根据运算符的优先级这两个括号也有可能是不必要的，但为了安全起见还是用了括号。

示例 13.4

现在要利用门的拓扑次序ABCDE 为图13-2所示的电路确定输出表达式。首先，我们要看看AND门A，它的两路输入来自电路的输入x 和y，所以与A 的输出对应的表达式就是xy。

门B 是输入x 的反相器，所以它的输出是。同样，门C 的输出是。现在可以处理AND门D 了，它的输入是B 和C 的输出。因此，对应门D 输出的表达式为。最后，门E是OR门，它的输入是A 和D 的输出。因此要把这两个门的输出用OR运算符连接起来，从而得到表达式，作为对应门E 输出的表达式。因为E 是电路唯一的输出门，所以该表达式也是电路的输出。回想一下，图13-2所示的电路整数是用来识别布尔函数x≡y 的。很容易验证我们为门E 得出的这个表达式与x≡y 是等价的。

示例 13.5

在之前的例子中，我们的电路都只有一路输出，而且电路本身就构成了一棵树。但这些条件一般而言是不成立的。我们现在要介绍一个设计多输出电路的例子，而且其中一些门的输出会用作若干个门的输入。回想一下，第1章中讨论过用一位加法器构建一个计算二进制数字加法的电路。一位加法器电路有表示要相加的两个数字中某一特定位的两路输入x 和y。除此之外，它还有第三路输入c，表示从其右侧相邻位置（低一位的位置）到该位的进位输入。而一位加法器会生成以下两位作为输出。

1. 和值位z，当x、y 和c 中有奇数个是1时它的值为1。

2. 进位输出位d，当x、y 和c 中有两个或三个是1时它的值为1。

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