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燕郊镇，隶属于河北省廊坊市三河市，地处三河市西部，东、东南、南与大厂回族自治县接壤，西濒潮白河、隔河与北京市通州区相望，西北、北与高楼镇为邻， [7]  区域面积108平方千米，截至2018年，户籍人口351483人。 [6] 

民国三十七年（1948年），属三河县四区。1958年，为红星公社。1983年，改为燕郊镇。 [7]  截至2020年6月，燕郊镇下辖55个行政村。 [8] 

2018年，燕郊镇有工业企业796个，其中规模以上77个，有营业面积超过50平方米以上的综合商店或超市396个。

要注意到，如果(12.12)中有n=1，就有了→的传递性的情况，也就是法则12.23。还有，如果n=0，那么(12.12)就成了(1→r)→r，这是个重言式。回想一下，当n=0时，按约定q1q2…qn 被取为AND的单位元，也就是1。

我们还需要一类重言式来证实可以为证明添加前提。它是对示例12.25中讨论过的重言式的一般化。我们声明，对任何满足1≤i≤m 的m 和i 来说，

(p1p2…pm)→pi　　　　　　(12.13)

是重言式。也就是说，一个或多个命题的AND蕴涵它们之中的任何一个。

表达式(12.13)之所以是重言式，是因为唯一让它为假的可能就是左边为真且右边(pi) 为假。但如果pi 为假，那么pi 和其他p 的AND必然为假，所以(12.13)的左边为假。但只要(12.13)的左边为假，它就为真。

现在可以证明，如果给定下列两个条件

1. 前提E1、E2、…、Ek；

2. 一组推理规则，满足只要这些推理规则允许我们写一行F，那么该行要么是Ei 中的某一个，要么对某组之前的行F1、F2、…、Fn，存在重言式

(F1 AND F2 AND…AND Fn)→ F

则对各行F，(E1 AND E2 AND…AND Ek) →F 一定是重言式。要对添加到证明中的行的数量进行归纳。

依据。我们以0行的情况作为依据。这一命题成立，因为它表示的是与证明中每行F 有关的信息，而且并没有这样的行需要讨论。也就是说，我们的归纳命题其实形如“如果F 为证明的一行，那么……”，而且我们知道如果条件为假，那么这样的“如果-那么”命题就为真。

归纳。对归纳部分而言，假设对之前的各行G，有

(E1 AND E2 AND…AND Ek)→G

是重言式。设F 是添加的下一行。就有两种情况。

演绎证明与等价证明

我们在12.8节和12.9节中看到的证明方式与12.10节研究的演绎证明有着不同的风格。不过，这两种证明都需要构建一系列的重言式，以得出所需的重言式。

在12.8节和12.9节中我们看到了等价证明，由一个重言式开始，通过各种替换得出另外的重言式。得到的所有重言式对某些表达式E 和F 而言具有E ≡F 的形式。这种证明风格会被用于三角学中，例如，在证明“三角恒等式”时会用到。

演绎证明也需要寻找重言式。唯一的区别在于，其中各个重言式都形如E →F，其中E 是前提的AND，而F是证明中我们实际要得出的行。事实上，我们不写出整个重言式只是一种表示上的便利，而非本质上的区别。我们也应该很熟悉这种证明方式，它常用于平面几何中的证明。

情况1：F是前提之一。那么 (E1 AND E2 AND…AND Ek)→F是重言式，因为它源自(12.13)，是m=k，而且对j=1、2、…、k，用Ej 替换各个pj 得到的。

情况2：F 是因为推理规则

(F1 AND F2 AND…AND Fn)→F

而被添加的，其中各个Fj 都是之前各行中的某一行。根据归纳假设

(E1 AND E2 AND…AND Ek)→Fj

对各个 j 而言都是重言式。因此，如果用Fj 替换(12.12)中的qj，用

E1 AND E2 AND…AND Ek

代替p，并用F 代替r，我们就会知道，对表达式E 和F 中变量的真值进行任何替换，都会使(12.12)的左边为真。因为(12.12)是重言式，所以每一种真值赋值都会让右边为真。而这里的右边是(E1 AND E2 AND…AND Ek)→F。由此可以得出，该表达式对每种真值赋值都为真，也就是说，它是个重言式。

我们现在已经得出了归纳的结论，而且证明了对证明中的每行都有

(E1 AND E2 AND…AND Ek)→F

特别要说的是，若证明中最后的那行是我们的目标E，就知道(E1 AND E2 AND…AND Ek)→E。

12.10.3　习题

1. * 从下列各小题给出的前提，分别给出对相应结论的证明。大家可以使用推理规则(a)到(d)。而对于重言式，只可以使用12.8节和12.9节中陈述过的法则，以及用“以相等换相等”的方式从这些法则的实例得到的重言式。

(a) 前提：p→q，p→r。结论：p→qr。

(b) 前提：p→(q+r )，p→(q+r )。结论：p→q。

(c) 前提：p→q，qr →s。结论：qr→s。

2. 说明以下内容为何是推理规则。如果E→F 是证明的一行，而且G 是任何表达式，那么我们可以添加E→(F OR G )这样一行。

12.11　分解证明

正如我们在本章前面的内容中提过的，寻找证明是个困难问题，而且因为重言式问题看起来是天生的指数时间问题，所以没有通行的方式可以使寻找证明变得简单。不过，有很多已知的只针对“典型”重言式的技巧，看起来对找寻证明所需的探索工作有所帮助。在本节中我们就要研究一条实用的推理规则——分解（resolution），它可能是这些技巧中最基本的一条了。分解是基于以下重言式的。

　　　　　　(12.14)

这条推理规则的有效性是很容易验证的。想让它为假只有一种情况，就是q+r 为假，而且左边的表达式为真。如果q+r 为假，那么q 和r 都为假。假设p 为真，则为假。那么为假，而(12.14)的左边就一定为假。同样，如果p 为假，那么p+q 为假，还是说明(12.14)的左边为假。因此，不可能让(12.14)的左边为真且右边为假，所以可以得出(12.14)是个重言式。

应用分解的一般方式是把前提转换成子句，这些子句是文字的和（逻辑OR）。我们可以把各个前提都转换成子句的积。而我们的证明要以这些子句作为证明中的行开始，这样做的原因是各子句都是“给定的”。然后应用分解规则构造新的行，而这些行总能证明是子句。也就是说，如果(12.14)中的q 和r 各自被任意文字和所替代，那么q+r 也将是文字和。

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