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雄安新区（Xiong'an New Area [1]  ），为河北省管辖的国家级新区， [2-3]  位于河北省中部，地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域， [4]  起步区面积约100平方千米，中期发展区面积约200平方千米，远期控制区面积约2000平方千米。 [4]  2017年，雄安新区常住人口104.71万人。 [5] 

2017年4月1日，中共中央、国务院印发通知，决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7]  雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸，在大清河水系冲积扇上，属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候，四季分明。 [8]  有南拒马河，大清河，白沟引河等河流过境，白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境，有G18荣乌高速公路，G2011青新高速公路，G45大广高速公路，S7津保高速公路，京雄高速公路等高速横贯全境。 [9]  2019年8月30日，雄安新区设中国（河北）自由贸易试验区雄安片区。 [10]  2019年12月，雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12] 

2019年，雄安新区地区生产总值为215亿元。

12.8.7　习题

1. 通过构建真值表，验证法则12.1到12.24都是重言式。

2. 可以用表达式替换重言式中的任何命题变量，并得到另一个重言式。在法则12.1到法则12.24这些重言式中，用x+y 替换p，yz 替换q，并用替换r，得到新的重言式。如果需要的话，不要忘了给新换上的表达式加上括号。

3. 证明：

(a) p1+p2+…+pn 与pi 任意次序的和（逻辑OR）等价。

(b) p1p2pnpi 任意次序的积（逻辑AND）等价。

提示：2.4节中为加法展示过相似的结果。

4. * 利用本节给定的法则，把每一对表达式中的第一个表达式变形为第二个。为了减少工作量，在使用类似算术法则的法则12.5到12.13时，可以省略使用它们的步骤。例如，AND和OR的交换律和结合律是可以假定的。

(a) 把pq+rs 变形为(p+r )(p+s)(q+r )(q+s)。

(b) 把变形为p(q+r )。

(c) 把变形为1（该变形需要用到12.9节介绍的法则12.25）。

(d) 把pq→r 变形为(q→r )+(q→r )。

(e) 把NOT(pq→r )变形为。

5. * 利用之前的法则证明吸收律12.18(a)和12.18(b)，也就是说明只使用法则12.1到12.17就可以把p+pq 变形为p，并可以把p(p+q)变形为p。

6. 应用德摩根律，将以下表达式变形为NOT只作用于命题变量（也就是NOT只出现在文字中）的表达式。

(a) NOT

(b) NOT(NOT p+q(NOT))

7. * 利用基本法则12.20(a)和(b)，通过对k的归纳证明一般化的德摩根律12.20(c)和(d)。然后，通过描述对应各表达式及其子表达式的真值表的样子，粗略验证这一一般化法则。

8. * 找出本节中相互对偶的法则对。

9. * 通过对n的归纳证明法则12.24(b)。

10. * 通过描述对应表达式及其各子表达式具有2n行的真值表，证明法则12.24(b)成立。

11. 使用吸收律以及AND和OR的交换律和结合律，简化以下表达式

(a) 

(b) 

12. * 通过给出一些特殊的数字使得类比的等式不成立，表明法则12.14到12.20的算术类比是不成立的。

13. * 如果从那些只含AND、OR和NOT运算符的逻辑表达式开始，可以把所有的NOT向下压，直到NOT全部紧邻命题之上，也就是说，表达式是文字的AND和OR。证明我们能做到这一点。提示：只要看到NOT，要么它紧邻另一个NOT之上（这种情况下可以根据规则12.13抵消这两个NOT），要么它在命题之上（这种情况下命题就得到满足了），再或者它在AND和OR之上（这种情况下可以利用德摩根律将其压到下一层）。不过，想通过对诸如标号为NOT的节点高度之和这样显见的“大小”度量进行归纳，证明最终可以得到所有NOT都在命题之上的等价表达式，是不可能行得通的。原因在于，在利用德摩根律将NOT向下压时，它会变成NOT，这个和可能增加。为了证明最终可以得到所有NOT都在命题之上的等价表达式，需要找到一种合适的“大小”度量，在把NOT压到AND或OR之下的方向上应用德摩根律时，这个大小度量总是递减的。找到这样的大小度量，并证明该声明。

12.9　重言式及证明方法

在12.6到12.8这3节中，我们已经看到了逻辑的一个方面：它作为设计理论的用途。在12.6节中，我们看到如何利用卡诺图为给定的布尔函数设计表达式，而在第13章中我们会看到这种方法论是如何用到开关电路设计中的，而开关电路是构建计算机和其他数字设备的基础。12.7节和12.8节为我们介绍了重言式，它们可以用来简化表达式，因此在为给定布尔函数设计优质表达式时，重言式是另一种重要工具。

逻辑的第二个重要用途将在本节中得到体现。当人们推理或证明数学命题时，他们会用到很多技巧来推进自己的论证，这些技巧包括：

1. 情况分析；

2. 换质位法；

3. 反证法；

4. 归约法。

本节中要定义这些技巧，展示它们各自是如何应用到证明中的。我们还会展示如何通过命题逻辑中的某些重言式来验证这些技巧。

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