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发表日期: 2021-04-17 15:05:23 浏览次数:4

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雄安新区(Xiong'an New Area [1]  ),为河北省管辖的国家级新区, [2-3]  位于河北省中部,地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域, [4]  起步区面积约100平方千米,中期发展区面积约200平方千米,远期控制区面积约2000平方千米。 [4]  2017年,雄安新区常住人口104.71万人。 [5] 

2017年4月1日,中共中央、国务院印发通知,决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7]  雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸,在大清河水系冲积扇上,属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候,四季分明。 [8]  有南拒马河,大清河,白沟引河等河流过境,白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境,有G18荣乌高速公路,G2011青新高速公路,G45大广高速公路,S7津保高速公路,京雄高速公路等高速横贯全境。 [9]  2019年8月30日,雄安新区设中国(河北)自由贸易试验区雄安片区。 [10]  2019年12月,雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12] 

2019年,雄安新区地区生产总值为215亿元。

(c) (NOT(p1p2pk))≡(\overline{p}_1+\overline{p}_2+\cdots+\overline{p}_k)

(d) (NOT(p1+p2+…+pk))≡(\overline{p}_1\overline{p}_2\cdots\overline{p}_k)

例如,(d)说明当且仅当一系列表达式全为假时,它们才一个都不为真。

示例 12.20

我们已经在12.5和12.6节中了解到了如何为任意逻辑表达式构造析取范式。假设要从任意可以写成E1+E2+…+Ek,其中各Ei 都是文字的AND的表达式E开始。就可以构造NOT E 的合取范式,首先有

NOT(E1E2+…+Ek)

然后应用德摩根律(d),得到

(NOT(E1))(NOT(E2))…(NOT(Ek))      (12.8)

现在设Ei 是文字积\overline{X}_{i1}\overline{X}_{i2}\dots\overline{X}_{ij_i},其中各X要么是变量,要么是变量的否定。那么我们可以对NOT(Ei ),将其变为

\overline{X}_{i1}+\overline{X}_{i2}+\cdots+\overline{X}_{ij_i}

如果某个文字X 是否定变量,比方说是\overline{q},那么利用法则12.13,消除双重否定,\overline{X}就应该被替 换成变量q 本身。在进行所有的改变之后,式(12.8)就变成了文字和的积。

例如,rs+\overline{r}\ \overline{s}就是只有在rs 时才为真的析取范式,也就是说,它可以视作利用ANDORNOT对等价进行的定义。以下公式是上式的否定,只有在r 和s 不等价,也就是r 和s 刚好只有一个为真时才为真。

NOT(rs+\overline{rs})      (12.9)

现在对德摩根律(b)进行替换,用rs 替换p,并用\overline{r}\ \overline{s}替换q。那么(b)的左边就成了式(12.9),而根据替换原则可知,式(12.9)等价于对(b)进行相同替换后的右边,也就是

NOT(rs)AND NOT(\overline{rs})      (12.10)

现在我们可以应用(a),其中用r 替换p 并用s 替换q,将NOT (rs)转换成\overline{r}+\overline{s}。同样,(a)告诉我们,NOT(\overline{r}\ \overline{s})NOT(\overline{r})+NOT(\overline{s})是等价的。不过NOT(\overline{r})就等同于NOT(NOT(r )),也就等价于r,因为双重否定是可以抵消的。同样NOT(\overline{s})也可以被s替代,因此式(12.10)等价于(\overline{r}+\overline{s})(r+s)。这是表示“r 和s 刚好只有一个为真”的合取范式。粗略地说,它表示“r 和s 至少有一个为假,而且r 和s 至少有一个为真。”显然,这种情况只有在r 和s 中刚好有一个为真时才会发生。

12.8.5 对偶性原理

在审视本节所介绍的法则时,我们会注意到一个奇特的现象:这些等价性似乎都是成对出现的,只不过其中的ANDOR角色互换了而已。例如,法则12.19的(a)部分和(b)部分就是这样的一对,而法则12.9和12.14也是这样的一对,后者就是两条分配律。在涉及常数0和1时,它们也必须互换,就像在12.10和12.11这两条有关单位元的法则中那样。

在德摩根律中可以找到这一现象的解释。假设从重言式E1E2开始,其中E1E2都是涉及运算符ANDORNOT的表达式。根据法则12.4,有NOT(E1)≡NOT(E2)也是重言式。现在应用德摩根律把否定压过ANDOR。我们要做的,就是将每个AND“反转”为OR,反之亦然。而且我们会把否定下移到各操作数处。如果遇到NOT运算符,就直接把这个“移动的”NOT移到该NOT运算符下方,直到遇到另一个ANDOR。例外就是当我们遇到否定的文字,比方说\overline{p}时。然后,我们把这个移动的NOT与已经存在的那个结合起来,留下操作数p。作为特例,若移动的NOT遇到常数0或1,就要为该常数取否,也就是(NOT 0)≡1和(NOT 1)≡0。

示例 12.21

我们来考虑重言式12.19(b)。首先要为两边取否,这样就得到了图12-23a所示的树。然后把否定压过等价两边的OR,将它们变成ANDNOT符号就出现在两个OR的各参数之上,如图12-23b所示。新的NOT中有3个在变量之上,所以它们的移动就停止了。而在AND之上的那个会将该AND反转成OR,并使NOT出现在它的两个参数之上。这样右边的参数就成了NOT q,而左边的参数NOT p就成了NOT NOT p,也就是p。得到的树如图12-23c所示。

图12-23c的树表示表达式\overline{p}(p+\overline{q})\equiv\overline{p}\ \overline{q}。要让该表达式变成法则12.19(a)的形式,就必须为这些变量取否。也就是说,要用\overline{p}替换p,并用\overline{q}替换q。当消除双重否定之后,剩下的就刚好是法则12.19(a)。

图 12-23 构造对偶表达式

12.8.6 涉及蕴涵的法则

这里还有若干实用的重言式,给出了→运算符的属性。

12.21 (pq)AND(qp)≡(pq)。

也就是说,当前仅当两个表达式互相蕴涵时,它们是等价的。

12.22 (pq)→(pq)。

两个表达式的等价表明其中一个蕴涵另一个。

12.23 蕴涵的传递性:((pq)AND(q))→(pr )。

也就是说,如果p 蕴涵q,而且q 蕴涵r,那么有p 蕴涵r

12.24 可以把蕴涵用ANDOR表示出来,最简单的形式如下。

(a) (p\to q)\equiv(\overline{p}+q)

我们会看到,很多情况下,要处理的表达式会形如“如果这个而且这个而且……,那么那个”。例如,Prolog语言和很多“人工智能”语言都依赖这种形式的“规则”。这些规则通常会写成(p1p2pn)→q。通过以下等价,它们可以只用ANDOR表示出来。

(b) (p_1p_2\cdots p_n\to q)\equiv(\overline{p}_1+\overline{p}_2+\cdots+\overline{p}_n+q)

也就是说,只要q 为真,或者这些p 中有一个或多个为假,该等价的左边和右边就都为真,否则这两边都为假。

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