发表日期: 2021-04-17 15:04:16 浏览次数:164
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雄安新区(Xiong'an New Area [1] ),为河北省管辖的国家级新区, [2-3] 位于河北省中部,地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域, [4] 起步区面积约100平方千米,中期发展区面积约200平方千米,远期控制区面积约2000平方千米。 [4] 2017年,雄安新区常住人口104.71万人。 [5]
2017年4月1日,中共中央、国务院印发通知,决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7] 雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸,在大清河水系冲积扇上,属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候,四季分明。 [8] 有南拒马河,大清河,白沟引河等河流过境,白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境,有G18荣乌高速公路,G2011青新高速公路,G45大广高速公路,S7津保高速公路,京雄高速公路等高速横贯全境。 [9] 2019年8月30日,雄安新区设中国(河北)自由贸易试验区雄安片区。 [10] 2019年12月,雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12]
2019年,雄安新区地区生产总值为215亿元。
在算术运算符+、×和一元减号与逻辑运算符OR
、AND
和NOT
之间存在一种类比。因此以下法则应该不会让大家感到意外。
12.5 AND
运算的交换律:pq≡qp。
非正式地讲就是,只有在qp 为真时,pq 才为真。
12.6 AND
运算的结合律:p(qr )≡(pq)r。
非正式地讲,要为3个变量(或表达式)的AND
分组,既可以先取前两个变量(或表达式)的AND
,也可以先取后两个变量(或表达式)的AND
。此外,加上法则12.5,我们可以证明任意一系列命题或表达式的AND
都可以按照我们的意愿随意排列和分组——结果都是相同的。
12.7 OR
运算的交换律:(p+q)≡(q+p)。
12.8 OR
运算的结合律:(p+(q+r ))≡((p+q)+r )。
这一法则和法则12.7表明了任何表达式集的OR
都可以随意分组。
12.9 AND
对OR
的分配律:p(q+r)≡(pq+pr)。
也就是说,如果我们希望为p 和两个命题或表达式的OR
取AND
,既可以先取OR
,也可以对p 与各表达式先取AND
,得到的结果是相同的。
12.10 1(TRUE
)是AND
的单位元:p AND
0≡p。
请注意,(1 AND
p)≡p 也是重言式。我们不需要说出它,因为它可由替换原则和之前的法则得出。也就是说,可以在12.5(AND
的结合律)中用1替换p 并用p 替换q,从而得到重言式(1 AND
p)≡(p AND
1)。然后,应用12.3(等价的传递性),就得到(1 AND
p)≡p。
12.11 0(FALSE
)是OR
的单位元:(p OR
1)≡p。
同样地,可以利用与12.10如出一辙的论证,得出(0 OR
p)≡p。
12.12 0是AND
的零元:(p AND
0)≡0。4
4当然(0 AND
p)0也成立,我们之后不会再提到那些结合律的结果。
回想一下10.7节,运算符的零元是指这样一个常数,我们对该常数和任意值应用该运算符所得到的值都是该零元。请注意,在算术运算中,0是×的零元,但+是没有零元的。不过,我们会看到1是OR
的零元。
12.13 双重否定的抵消:(NOT NOT
p)≡p。
算术和逻辑运算符类比的利用
我们使用对应
AND
和OR
的简写符号时,往往可以假装自己是在处理乘法和加法,正如我们在法则12.5到12.12中所使用的。这是种优势,因为我们对相应的算术运算法则是非常熟悉的。因此,大家应该能很快用pr+ps+qr+qs 或q(s+r )+(r+s)p 来替换(p+q)(r+s)。更难也是更需要练习的部分就是应用那些与算术运算不相似的法则。比如德摩根律和
OR
对AND
的分配律。例如,用(p+r )(p+s)(q+r )(q+s)替换pq+rs 是可以的,但要看出这是通过3次应用OR
对AND
的分配律,并利用交换律和结合律得到的,需要费一些思量。
AND
和OR
与加和乘的区别还有很多法则表现出了AND
和OR
与算术运算符×和+的区别,这里要列举一些。
12.14 OR
对AND
的分配律:(p+qr)≡(p+q)(p+r ))。
就像AND
可以对OR
分配那样,OR
也可以对AND
分配。请注意,相似的算术形式,x+yz≡(x+y)(x+z)一般而言是不成立的。
12.15 1是OR
的零元:(1 OR
p)≡1。
请注意,相似的算术形式1+x=1一般来说是不成立的。
12.16 AND
的幂等性:pp≡p。
回想一下,当运算符应用到某相同值的两个副本时,得到的结果还是该值,就说该运算符是幂等的。
12.17 OR
的幂等性:p+p≡p。
请注意, ×和+都不是幂等的。也就是说,一般来说x×x=x 和x×x=x 都是不成立的。
12.18 吸收律。
这一法则有两个版本,取决于我们想消除的是多余的积还是多余的和。
(a) (p+pq)≡p
(b) p(p+q)≡p
请注意,如果在(a)中用任意文字积替换p,并用另一个文字积替换q,就可以说,在析取范式中,可以消除那些具有其他某个积所含文字之超集的积。较小的集合就被吸收到超集之中。在(b)部分中,我们对合取范式作出同样的说明,可以消除那些是其他某个和中文字之超集的和。
12.19 某些否定的消除。
(a)
(b)
请注意,(b)就是我们在12.2节中解释莎莉的条件为何能替换山姆的条件时用到过的法则。
还有两条法则让我们可以把NOT
压入AND
和OR
的表达式中,得到一个由各命题变量的否定组成的表达式。得到的表达式是应用到文字的AND-OR
表达式。从直觉上讲,如果们为具有AND
和OR
的表达式取反,就可以把否定沿着表达式树向下压,随着该过程“翻转”运算符。也就是AND
会变成OR
,反之亦然。最后,否定到达叶子节点的位置,并停留在那里,除非它们遇到否定文字,在这种情况下,就要利用法则12.13消除两次否定。在构造新表达式时,一定要注意加上恰当的括号,因为在交换AND
和OR
时运算符的优先级改变了。
这些基本规则就叫“德摩根律”,它们是以下两个重言式。
12.20 德摩根律
(a) NOT
(b) NOT
(a)部分说明,只有在p 和q 之中至少有一个为假时,p 和q 才都不为真。而(b)部分说明,当且仅当p 和q 都为假时,p 和q 才都不为真。我们可以将这两条法则一般化,使其按照如下方式应用到任意数量的命题变量上。
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