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发表日期: 2021-04-17 15:04:16 浏览次数:3

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雄安新区(Xiong'an New Area [1]  ),为河北省管辖的国家级新区, [2-3]  位于河北省中部,地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域, [4]  起步区面积约100平方千米,中期发展区面积约200平方千米,远期控制区面积约2000平方千米。 [4]  2017年,雄安新区常住人口104.71万人。 [5] 

2017年4月1日,中共中央、国务院印发通知,决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7]  雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸,在大清河水系冲积扇上,属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候,四季分明。 [8]  有南拒马河,大清河,白沟引河等河流过境,白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境,有G18荣乌高速公路,G2011青新高速公路,G45大广高速公路,S7津保高速公路,京雄高速公路等高速横贯全境。 [9]  2019年8月30日,雄安新区设中国(河北)自由贸易试验区雄安片区。 [10]  2019年12月,雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12] 

2019年,雄安新区地区生产总值为215亿元。

12.8.2 类似算术的法则

在算术运算符+、×和一元减号与逻辑运算符ORANDNOT之间存在一种类比。因此以下法则应该不会让大家感到意外。

12.5 AND运算的交换律pqqp

非正式地讲就是,只有在qp 为真时,pq 才为真。

12.6 AND运算的结合律p(qr )≡(pq)r

非正式地讲,要为3个变量(或表达式)的AND分组,既可以先取前两个变量(或表达式)的AND,也可以先取后两个变量(或表达式)的AND。此外,加上法则12.5,我们可以证明任意一系列命题或表达式的AND都可以按照我们的意愿随意排列和分组——结果都是相同的。

12.7 OR运算的交换律:(p+q)≡(q+p)。

12.8 OR运算的结合律:(p+(q+r ))≡((p+q)+r )。

这一法则和法则12.7表明了任何表达式集的OR都可以随意分组。

12.9 ANDOR的分配律p(q+r)≡(pq+pr)。

也就是说,如果我们希望为p 和两个命题或表达式的ORAND,既可以先取OR,也可以对p 与各表达式先取AND,得到的结果是相同的。

12.10 1(TRUE)是AND的单位元p AND 0≡p

请注意,(1 AND p)≡p 也是重言式。我们不需要说出它,因为它可由替换原则和之前的法则得出。也就是说,可以在12.5(AND的结合律)中用1替换p 并用p 替换q,从而得到重言式(1 AND p)≡(p AND 1)。然后,应用12.3(等价的传递性),就得到(1 AND p)≡p

12.11 0(FALSE)是OR的单位元:(p OR 1)≡p

同样地,可以利用与12.10如出一辙的论证,得出(0 OR p)≡p

12.12 0是AND的零元:(p AND 0)≡0。4

4当然(0 AND p)0也成立,我们之后不会再提到那些结合律的结果。

回想一下10.7节,运算符的零元是指这样一个常数,我们对该常数和任意值应用该运算符所得到的值都是该零元。请注意,在算术运算中,0是×的零元,但+是没有零元的。不过,我们会看到1是OR的零元。

12.13 双重否定的抵消:(NOT NOT p)≡p

算术和逻辑运算符类比的利用

我们使用对应ANDOR的简写符号时,往往可以假装自己是在处理乘法和加法,正如我们在法则12.5到12.12中所使用的。这是种优势,因为我们对相应的算术运算法则是非常熟悉的。因此,大家应该能很快用pr+ps+qr+qs 或q(s+r )+(r+s)p 来替换(p+q)(r+s)。

更难也是更需要练习的部分就是应用那些与算术运算不相似的法则。比如德摩根律和ORAND的分配律。例如,用(p+r )(p+s)(q+r )(q+s)替换pq+rs 是可以的,但要看出这是通过3次应用ORAND的分配律,并利用交换律和结合律得到的,需要费一些思量。

12.8.3 ANDOR与加和乘的区别

还有很多法则表现出了ANDOR与算术运算符×和+的区别,这里要列举一些。

12.14 ORAND的分配律:(p+qr)≡(p+q)(p+r ))。

就像AND可以对OR分配那样,OR也可以对AND分配。请注意,相似的算术形式,x+yz≡(x+y)(x+z)一般而言是不成立的。

12.15 1是OR的零元:(1 OR p)≡1。

请注意,相似的算术形式1+x=1一般来说是不成立的。

12.16 AND的幂等性ppp

回想一下,当运算符应用到某相同值的两个副本时,得到的结果还是该值,就说该运算符是幂等的。

12.17 OR的幂等性p+pp

请注意, ×和+都不是幂等的。也就是说,一般来说x×x=x 和x×x=x 都是不成立的。

12.18 吸收律。

这一法则有两个版本,取决于我们想消除的是多余的积还是多余的和。

(a) (p+pq)≡p

(b) p(p+q)≡p

请注意,如果在(a)中用任意文字积替换p,并用另一个文字积替换q,就可以说,在析取范式中,可以消除那些具有其他某个积所含文字之超集的积。较小的集合就被吸收到超集之中。在(b)部分中,我们对合取范式作出同样的说明,可以消除那些是其他某个和中文字之超集的和。

12.19 某些否定的消除。

(a) p(\overline{p}+q)\equiv pq

(b) p+\overline{p}q\equiv p+q

请注意,(b)就是我们在12.2节中解释莎莉的条件为何能替换山姆的条件时用到过的法则。

12.8.4 德摩根律

还有两条法则让我们可以把NOT压入ANDOR的表达式中,得到一个由各命题变量的否定组成的表达式。得到的表达式是应用到文字的AND-OR表达式。从直觉上讲,如果们为具有ANDOR的表达式取反,就可以把否定沿着表达式树向下压,随着该过程“翻转”运算符。也就是AND会变成OR,反之亦然。最后,否定到达叶子节点的位置,并停留在那里,除非它们遇到否定文字,在这种情况下,就要利用法则12.13消除两次否定。在构造新表达式时,一定要注意加上恰当的括号,因为在交换ANDOR时运算符的优先级改变了。

这些基本规则就叫“德摩根律”,它们是以下两个重言式。

12.20 德摩根律

(a) NOT(pq)\equiv\overline{p}+\overline{q}

(b) NOT(p+q)\equiv \overline{p}\ \overline{q}

(a)部分说明,只有在p 和q 之中至少有一个为假时,p 和q 才都不为真。而(b)部分说明,当且仅当p 和q 都为假时,p 和q 才都不为真。我们可以将这两条法则一般化,使其按照如下方式应用到任意数量的命题变量上。

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