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发表日期: 2021-04-17 14:11:45 浏览次数:7

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武安市,河北省直辖,邯郸市代管,位于河北省南部、太行山东麓,晋、冀二省交界地带,处在京津冀、中原经济区两大国家战略“交汇叠加区”,距晋冀鲁豫四个省会城市均在200公里左右。武安市是一座以工业为主的新兴城市,矿产资源以铁、煤矿为主,是全国58个重点产煤县(市)和全国四大富铁矿基地之一,总面积1806平方千米,

武安市下辖13个镇,9个乡,总人口84万(2021年 [36]  )是著名的地方戏曲之乡、古代冶炼之乡、中国小米之乡、全国百强市。2006年,联合国教科文组织授予武安“千年古县”称号。 [2] 

2019年,武安市地区生产总值638亿元,财政总收入105亿元,县域经济综合实力位居全国百强第83位。

2021年3月,被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县(市、区)。


示例 12.3

假设要为表达式p AND (q OR r ) OR s求值,其中pqr 和s 的真值赋值分别是TRUEFALSETRUEFALSE。我们首先要考虑图12-1中最低的内部节点,也就是表示表达式q OR r 的内部节点。因为q 为FALSE,而r 为TRUE,所以q OR r 的值为TRUE

现在来处理带有AND运算符的节点。它的两个子节点分别对应表达式p 和q OR r,因此都具有值TRUE。所以表示表达式p AND (q OR r )的该节点的值也是TRUE

最后,我们要继续处理带有运算符OR的根节点。我们已经得出它的左子节点的值为TRUE,而它的右子节点表示表达式s根据真值赋值其值为FALSE。因为TRUE OR FALSE求出的值是TRUE,所以整个表达式的值为TRUE

12.3.3 布尔函数

任何表达式的“含义”都可以描述为从其参数的值到整个表达式的值的函数。例如,算术表达式x×(x+y)是接受x 和y(假如x 和y 是实数)的值,然后返回将两个参数相加并将和乘以第一个参数所得到的值。这一行为就类似如下C语言函数的行为

float foo(float x, float y){
    return x*(x+y);}复制代码

在第7章中我们了解到,函数是定义域和值域有序对的集合。我们还可以把x×(x+y)这样的算术表达式表示为定义域为实数对且值域为实数的函数。该函数是由形如((x,y),x×(x+y))的有序对构成的。请注意,各有序对的第一个组分本身也是有序对(x,y)。该集合是无限集,它所含的成员类似((3,4),21)或((10,12,5),225)。

类似地,逻辑表达式的含义就是接受真值赋值作为参数,并返回TRUEFALSE的函数。这样的函数就叫作布尔函数。例如,逻辑表达式

Ep AND (p OR q)

就类似如下C语言函数

BOOLEAN foo(BOOLEAN p, BOOLEAN q){
    return p && (p || q);}复制代码

和算术表达式一样,布尔表达式也可以视作有序对的集合。各有序对的第一个组分是一种真值赋值,也就是以某指定次序为各命题变量给出真值的元组。而该有序对的第二个组分是表达式对应此真值赋值时的值。

示例 12.4

表达式E = p AND (p OR q)可以用由4个成员组成的函数表示。我们在表示真值时会把对应p的值放在对应q的值之前。那么((TRUE,FALSE),TRUE)就是将E表示为函数的集合中的一个有序对。它的含义是,当p为真且q为假时,p AND (p OR q)为真。我们可以通过示例12.3中所示的过程处理表示E的表达式树来确定该值。读者可以使用其他3种真值赋值为E求值,以此构建起E所表示的整个布尔函数。

12.3.4 习题

1. 针对所有可能的真值赋值,为以下表达式求值,从而将它们的布尔函数表示成集合论函数。

(a)p AND (p OR q)

(b)NOT p OR q

(c)(p AND qOR (NOT p AND NOT q)

2. 编写C语言函数实现习题1中的逻辑表达式。

12.4 真值表

将布尔函数表示为真值表是很方便的,真值表中的各行对应着各参数真值所有可能的组合。表中有着对应各参数的列以及对应函数值的列。

图 12-2 对应ANDORNOT的真值表

示例 12.5

对应ANDORNOT的真值表如图12.2所示。这里用到了简略表示法,用1代表TRUE,用0代表FALSE,本章其他部分也将经常这样表示。因此对应AND的真值表就表示,当且仅当两个操作数都为TRUE时,结果才是TRUE,而第二个真值表则表示,当操作数有一个为TRUE或两个都为TRUE时,应用OR运算符的结果为TRUE,而第三个真值表说明,当且仅当操作数的值为FALSE时,应用NOT运算符的结果为TRUE

12.4.1 真值表的大小

假设某布尔函数具有k 个参数,那么该函数的真值赋值就是具有k 个元素的表,各元素要么为TRUE,要么为FALSE。计算对应k 个变量的真值赋值数就是4.2节中考虑过的为分配计数问题的例子。也就是说,我们可以为这k 个项每个项分配两个真值之一。这就和用两种可选颜色粉刷k 所房屋的问题是类似的,因此真值赋值的数目是2k

因此含k 个参数的布尔函数对应的真值表有2k 行,每一行都对应一种真值赋值。例如,如果k=2,则真值表有4行,分别对应00、01、10和11,正如我们在图12-2中看到的对应ANDOR的真值表那样。

尽管涉及两三个变量的真值表相当小。但k 元函数对应2k行这一事实说明,不用等到k 变得特别大,绘制真值表就会很难了。例如,含10个参数的函数就有逾1000行。在后面几节中我们还将了解到,尽管真值表是有限的,而且原则上讲可以表示出我们想知道的与布尔函数有关的一切,但它们呈指数式增长的大小通常迫使我们寻找其他理解、比较布尔函数或为其求值的方法。

理解“蕴涵”

蕴涵(implication)运算符→的含义可能不那么直观,因为必须利用到“假蕴涵一切”的概念。我们不应该把→和因果关系混为一谈。也就是说,pq 可能为真,但p 并不是在任何情况下都会“导致”q。例如,设p 是“天在下雨”,q 是“苏带着伞”。我们可以断言pq 为真。而且看起来似乎就是下雨导致苏带上她的伞。不过,也有可能苏是那种不相信天气预报而且不会一直带上雨伞出门的人。

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