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发表日期: 2021-04-17 14:10:34 浏览次数:10

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武安市,河北省直辖,邯郸市代管,位于河北省南部、太行山东麓,晋、冀二省交界地带,处在京津冀、中原经济区两大国家战略“交汇叠加区”,距晋冀鲁豫四个省会城市均在200公里左右。武安市是一座以工业为主的新兴城市,矿产资源以铁、煤矿为主,是全国58个重点产煤县(市)和全国四大富铁矿基地之一,总面积1806平方千米,

武安市下辖13个镇,9个乡,总人口84万(2021年 [36]  )是著名的地方戏曲之乡、古代冶炼之乡、中国小米之乡、全国百强市。2006年,联合国教科文组织授予武安“千年古县”称号。 [2] 

2019年,武安市地区生产总值638亿元,财政总收入105亿元,县域经济综合实力位居全国百强第83位。

2021年3月,被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县(市、区)。


因为p 和q 可以是任何命题,所以可以利用(12.3)式简化很多不同的表达式。例如,可以设p 为

a == b+1 && c < d复制代码

q 为a == c || b == c。在这种情况下,(12.3)的左边就成了

(a == b+1 && c < d) || (12.4)
    ( !(a == b+1 && c < d) && (a == c || b == c))
      (12.4)

请注意,我们为p 和q 的值加上了括号,以确保得到的表达式组合正确。

(12.3)式告诉我们(12.4)式可以简化为(12.3)式的右边,也就是

(a == b+1 && c < d) || (a == c || b == c)复制代码

再举个例子,设p 是命题“天气晴朗”,而q 是命题“乔伊带着伞”,那么(12.3)的左边就成了

“天气晴朗,否则不是晴天但乔伊带着伞。”

而右边也表示同样的事情,就是

“天气晴朗,否则乔伊带着伞。”

命题逻辑不能做什么

命题逻辑是一种实用的推理工具,但它是有局限性的,因为它不能洞悉命题内部并利用命题间的关系。比如,莎莉写出了if语句

if (a < b="" &&="" a="">< c="" &&="" b="">< c)="" ...="">复制代码

然后山姆指出只要写成

if (a < b="" &&="" b="">< c)="" ...="">复制代码

就足够了。如果设pq 和r 分别代表命题(a<b)(a<c)(b<c),这样看起来山姆所说的就是

p AND q AND r)≡(p AND r )

不过这一等价性并不总是存在。例如,假设p 和r 为真,而q 为假。那么右边就为真,而左边却为假。

山姆的简化结果是正确的,但这里并不是利用命题逻辑得到的。大家可能会回想起7.10节中介绍的<是一种具有传递性的关系。也就是说,只要p 和r 都为真,也就是a<bb<c都成立,那么就有q 为真,即a<c成立。

第14章将介绍一种叫作谓词逻辑的更为强大的模型,它允许我们为命题附加参数。这种特权让我们可以利用<这样的运算符的特殊属性。对我们来说,可以把谓词视作第7章和第8章的集合论中关系的名称。例如,我们可以创建谓词lt 表示运算符<,并将pq 和r 分别写为lt (a,b )、lt (a,c )和lt (b,c )。那么,根据表示lt 属性的合适法则,比如传递性,就可以得到

(lt (a,b ) AND lt (a,c ) AND lt (b,c ))≡(lt (a,b ) AND lt (b,c ))

其实,上式对任何满足传递律的谓词lt 都是成立的,而不仅是对谓词<成立。

12.3 逻辑表达式

正如12.2节中提到的,逻辑表达式可以按照以下方式递归地定义。

依据。命题变量以及逻辑常量TRUEFALSE都是逻辑表达式,这些都是原子操作数。

归纳。如果E和F是逻辑表达式,那么

(a) E AND F。如果E 和F 都为TRUE,则该表达式的值为TRUE,否则为FALSE

(b) E OR F。如果E 为TRUEF 为TRUE或两者都为TRUE,则该表达式的值为TRUE,如果E 和F 都为FALSE,则该表达式的值为FALSE

(c) NOT E。若E 为FALSE,则该表达式的值为TRUE,若E 为TRUE则其值为FALSE

也就是说,逻辑表达式可以用二元中缀表达式ANDOR,以及一元前缀表达式NOT构建。与其他代数一样,我们需要用括号进行组合,不过在某些情况下,也可以利用运算符的优先级和结合性消除多余的括号对,正如我们在涉及这些逻辑运算符的C语言条件表达式中所做的那样。在12.4节中,将看到出现在逻辑表达式之外的更多逻辑运算符。

示例 12.1

下面是一些逻辑表达式的例子

1. TRUE

2. TRUE OR FALSE

3. NOT p

4. p AND (q OR r )

5. (q AND pOR (NOT p )

在这些表达式中,pq 和r 都是命题变量。

12.3.1 逻辑运算符的优先级

与其他类型的表达式一样,我们也可以为逻辑运算符指定优先级,而且可以利用这样的优先级消除某些括号对。我们已经看到的这些逻辑运算符的优先次序分别是NOT(最高),然后是AND,再是OR(最低)。虽然我们将会看到ANDOR具有结合性,怎样分组都无关紧要,但它们通常是从左组合的。而一元前缀运算符NOT只能从右起分组。

示例 12.2

NOT NOT p OR q被分组为(NOT (NOT p)) OR q。而NOT p OR q AND r 被分组为(NOT p ) OR (q AND r )。大家应该可以看出,ANDORNOT的优先级和结合性与算术运算符×、+和一元的-之间存在相似性。例如,本例所述的第二个表达式就可以类比为算术表达式 -p+q×r,它有着相同的分组方式,(-p)+(q×r )。

12.3.2 逻辑表达式的求值

当逻辑表达式中的所有命题变量都被赋予真值时,表达式本身也得到一个真值。我们可以像为算术表达式或关系表达式求值那样,为逻辑表达式求值。

这一过程通过对应逻辑表达式的表达式树可以得到最好的体现。图12-1就是对应逻辑表达式p AND (q OR r ) OR s 的表达式树。给定某一真值赋值,也就是,为各变量赋值TRUEFALSE,可以从表示原子操作数的叶子节点开始。每个原子操作数要么是逻辑常量TRUEFALSE之一,要么是根据真值赋值给定了TRUEFALSE之中某一个值的变量。然后向上处理该表达式树。一旦某内部节点v 的子节点的值已知,就可以对这些值应用处在节点v 的运算符,并为节点v 产生真值。根节点的真值就是整个表达式的真值。

图 12-1 表示逻辑表达式p AND (q OR r ) OR s 的表达式树

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