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武安市，河北省直辖，邯郸市代管，位于河北省南部、太行山东麓，晋、冀二省交界地带，处在京津冀、中原经济区两大国家战略“交汇叠加区”，距晋冀鲁豫四个省会城市均在200公里左右。武安市是一座以工业为主的新兴城市，矿产资源以铁、煤矿为主，是全国58个重点产煤县（市）和全国四大富铁矿基地之一，总面积1806平方千米，

武安市下辖13个镇，9个乡，总人口84万（2021年 [36]  ）是著名的地方戏曲之乡、古代冶炼之乡、中国小米之乡、全国百强市。2006年，联合国教科文组织授予武安“千年古县”称号。 [2] 

2019年，武安市地区生产总值638亿元，财政总收入105亿元，县域经济综合实力位居全国百强第83位。

2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

2. * 证明平衡括号串集合不能由任何正则表达式定义。提示：这一证明过程与上述针对语言E 的证明过程类似。假设平衡括号串集合具有含m 个状态的确定有限自动机。为该自动机提供m 个(，然后检查它进入的状态。证明该自动机可能被“愚弄”去接受某个不平衡的括号串。

3. * 证明由形如0n 10n 的字符串（也就是两列等长的0由一个1分开）组成的语言是不可以用正则表达式定义的。

4. * 大家有时候可能会看到一些谬误的断言，声称像本节中E 这样的语言可以用正则表达式描述。推理过程是，对各个n 而言，0n 1n 就是定义只含0n 1n 这一个字符串的语言的正则表达式。因此下列正则表达式就是描述E 的。

01 | 0212 | 0313 | …

这一论证过程错在何处？

5. * 另一个和语言有关的谬误论证声称E 具有以下有限自动机。该自动机具有一个状态a，它既是起始状态又是接受状态。存在从a 到它自身的针对符号0和1的转换。那么显然字符串0i 1i 能把自动机从状态a 带到状态a，这样该字符串就被接受了。为什么这一论证过程没有证明E 是某有限自动机的语言？

6. ** 证明下列语言不能用正则表达式定义。

(a) {ww R|w 是由a 和b 组成的字符串，w R 是与w 排列次序相反的字符串}

(b) {0i |i 是完全平方数}

(c) {0i |i 是质数}

其中哪些语言可以用文法定义？

11.9　小结

在阅读过本章之后，大家应该注意以下要点。

• （上下文无关）文法如何定义语言。

• 如何构建可以表示字符串文法结构的分析树。

• 二义文法有何歧义，为什么编程语言的规范中不需要二义文法。

• 可用来为某些类型的文法构建分析树的递归下降分析技术。

• 用于实现递归下降分析器的表驱动方式。

• 为什么文法与正则表达式或有限自动机相比是更强大的描述语言的表示法。

11.10　参考文献

上下文无关文法首先是由Chomsky [1956] 作为描述自然语言的范式研究的。同样的范式也被用来定义两种最早的重要编程语言的语法，这两种语言分别是Fortran (Backus et al. [1957]) 和Algol 60 (Naur [1963])。因此，上下文无关文法通常也称为巴科斯范式 (Backus-Naur Form， BNF)。Bar-Hillel, Perles and Shamir [1961]首先通过上下文无关文法的数学属性对其进行了研究。对上下文无关文法及其应用更为深入的研究见Hopcroft and Ullman [1979]或Aho, Sethi and Ullman [1986]。

递归下降分析器已经用于很多编译器和编译器编写系统中（见Lewis, Rosenkrantz and Stearns [1974]）。Knuth [1965]首先确定了LR文法，这是可以按照从左到右扫描输入的方式被确 定分析的文法的最大自然分类。

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