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三河古镇，古名鹊渚、鹊尾（渚）、鹊岸，是中国历史文化名镇，国家AAAAA级旅游景区，位于安徽省合肥市肥西县南端，地处肥西、庐江、舒城交界处，古镇总面积2.9平方公里。 [1-2] 

三河古镇原是巢湖中的高洲，因泥沙淤积，渐成陆地。南北朝后期称三汊河，明、清置三河镇。 [2] 

三河古镇有丰乐河、杭埠河、小南河在境内汇合，经新河向东流约15公里入巢湖。镇内有古城墙、古炮台、太平军指挥部旧址、英王府、一人巷、万年台、李府粮仓、鹤庐、刘同兴隆庄等历史遗迹，是庐剧的发源地，古镇有米饺、牛皮糖、酥糖、麦芽糖、茶干、米酒等特产。 [3] 

为表达对全体医护人员的敬意和感谢，自疫情结束恢复运营之日起至2020年12月31日，三河古镇景区所有收费景区将面向全国医护工作者实行免费游览政策。

下一个任务就是为和2+14创建分析树。首先，我们要用到产生式(4)，即<E>→<N>，以建立图11-14所示的分析树。这些树表明了3、2和14都是表达式。这些树中的第一棵源自图11-12c中为右部中的<N>选择的树，第二棵是通过图11-12b中为<N>选择的树得到的，而第三棵则是选择图11-13中的树得到的。

然后可以使用产生式(6)，也就是<E>→<E>+<E>。对右部中的第一个<E>，我们使用了图11-14b中的树，而对右部中的第二个<E>，则是使用了图11-14c所示的树。为右部中的+使用的是一棵标号为+的单节点树。得到的树如图11-15所示，其产出为2+14。

图 11-14　使用产生式<E>→<N>构建的分析树

接下来要用到产生式(5)，或者说是<E>→(<E>)，构建图11-16所示的分析树。我们只要为右部中的<E>选择图11-15中的树，并为终结符括号选择单节点树即可。

最后，利用产生式(8)，也就是<E>→<E>*<E>，构建了我们最初在图11-8中展示的分析树。我们为右部中的第一个<E>选择了图11-14a所示的树，并为第二个<E>选择了图11-16中的树。

图 11-15　使用产生式<E>→<E>+<E>构建的分析树

图 11-16　使用产生式<E>→(<E>)构建的分析树

11.4.2　分析树为何“行得通”

分析树的构建与字符串属于某语法分类的归纳定义非常相似。我们可以通过两次简单的归纳来证明，对任意语法分类<S>来说，以<S>为根节点的分析树的产出刚好是L(<S>)中的字符串。也就是如下两点。

(1) 如果T 是根节点标号为<S>而且产出为s的分析树，那么字符串s 在语言L(<S>)中。

(2) 如果字符串s 在语言L(<S>)中，那么存在产出为s 且根节点标号为<S>的分析树。

这一等价关系应该是相当直观的。粗略地讲，分析树是由更小的分析树，按照由较短的字符串构成长字符串的方式，对产生式右部中的语法分类进行替换构成的。我们首先利用对树T 高度的完全归纳证明第(1)部分。

依据。假设分析树的高度是1。那么这棵树就像图11-17所示的这样，或者，在n=0的特例中，就像图11-9所示的树那样。构建这种树的唯一方法是，若存在产生式<S>→x1x2…xn，其中各x都是终结符(如果n=0，该产生式就是<S>→ε)。因此x1x2…xn是L(<S>)中的字符串。

图 11-17　高度为1的分析树

归纳。假设命题(1)对所有高度不超过k 的树都成立。现在考虑像图11-10那样高度为k+1的树。那么，对i=1、2、…、n，各子树Ti 的高度至多为k。如果这些子树中有任何一棵的高度达到或超过k+1，那么整棵树的高度就至少是k+2。因此，归纳假设适用于各棵树Ti 。

根据归纳假设，如果子树Ti 的根节点Xi 是语法分类，那么Ti 产出si 就在语言L(Xi )中。如果Xi 是终结符，就定义字符串si 是Xi，那么整棵树的产出就是s1s2…sn。

根据分析树的定义，可知<S>→X 1X 2…X n是产生式。假设只要Xi 是语法分类就用si 替换Xi 。根据定义，如果Xi 是终结符，Xi 就是si 。这样一来，替换后的右部就成了s1s2…sn，与该树的产出是相同的。根据<S>的语言的归纳规则，我们知道s1s2…sn 是在L(<S>)中的。

现在必须证明命题(2)，语法分类L<S>中的每个字符串s都具有以<S>为根节点且以s为产出的分析树。首先要注意到，对每个终结符x，存在根节点和产出都是x的分析树。现在我们要对得出s 在L(<S>)中时的归纳步骤（如11.3节所述，下面的证明中加引号的“归纳步骤”就是表示该归纳步骤）的应用次数进行完全归纳。

依据。假设证明s 在L(<S>)中需要应用“归纳步骤”一次。则一定存在产生式<S>→x1x2…xn，其中所有的x都是终结符，而且<S>=x1x2…xn。我们知道对i=1、2、…、n，都有标号为Xi 的单节点分析树。因此，存在产出为s且根节点标号为<S>的分析树，该树的样子类似图11-17所示。在n=0的特例中，我们知道s=ε，此时就要使用图11-9所示的树。

归纳。假设应用“归纳步骤”不超过k次所发现的任意语法分类<T>的语言中，任何字符串t 都具有以t 为产出而且以<T>为根节点的分析树。考虑通过k+1次应用“归纳步骤”找到的在语法分类<S>的语言中的字符串s 。那么，存在产生式<S>→X1X2…Xn，且s=s1s2…sn，其中每个子串si 都会是如下两种可能之一。

1. 为Xi（如果Xi 是终结符）。

2. 某个至多应用k 次“归纳步骤”就可知在L(Xi )中的字符串（如果Xi 是语法分类）。

因此，对每个i，都可以找到一棵具有产出si 而且根节点标号为Xi 的树Ti 。如果Xi 是语法分类，那么就利用归纳假设声明Ti 存在，而如果Xi 是终结符，则不需要归纳假设就可以声明存在标号为Xi 的单节点树。因此，如图11-10中那样构建的树具有产出s 而且根节点标号为<S>，这样就证明了该归纳步骤。

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