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任丘微信公众号开发【任丘网络推广】任丘建站、任丘网站维护、任丘网页制作、任丘微信小程序代运营公司

发表日期: 2021-04-17 11:03:31 浏览次数:9

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任丘市,河北省辖县级市,由沧州市代管 [1]  ,位于河北省中部,北依京津、毗邻雄安,西临白洋淀,是神医扁鹊故里,华北油田总部所在地。 [2]  全市总面积864平方公里,总人口为81万人,下辖7个街道、9个镇、3个乡,349个行政村。 [3] 

任丘地处华北平原中北部,境内主要种植小麦、玉米等粮食作物。地下石油和天然气资源富集,为华北地区重要的石油产地和石化基地。任丘是国务院确定的对外开放县市和环京津经济圈的主要市县之一, [4]  自“九五”以来,任丘综合实力一直位居河北省“十强”县市前列,并连续多年入围全国“百强”县市。2014年完成生产总值600.1亿元。 [5] 

任丘历史悠久,八千年前已有人类繁衍生息,西汉大将军任丘在此筑城为防海口而得名“任丘”,抗战时期任丘人民谱写了白洋淀游击战和地道战等家喻户晓的敌后斗争史。旅游景区有白洋淀千里堤、鄚州庙、石油矿山公园等,有任丘大鼓、冀中笙管乐等非物质文化遗产。2017年12月,当选中国工业百强县(市)。 [6] 

2018年10月,入选2018年度全国综合实力百强县市 [7]  、全国绿色发展百强县市、全国科技创新百强县市、全国新型城镇化质量百强县市。 [8-10]  2019年10月8日,被评为2019年度全国综合实力百强县市、 [11]  2019年度全国绿色发展百强县市、 [12]  2019年全国科技创新百强县市、 [13]  2019年度全国新型城镇化质量百强县市 [14]  。2019年,被列为第二批国家农产品质量安全县。 [15]

10.7.1 取并和串接与加法和乘法的类比

在本节中,我们要列举与正则表达式的取并、串接和闭包运算符有关的最重要的那些等价关系。首先要从取并和串接运算与加法和乘法运算的类比开始。正如我们将要看到,这种类比并不是很精确,主要因为串接是不具备交换性的,而乘法当然是具备交换性的。不过,这两对运算之间还是存在诸多相似性。

首先,取并和串接都具有单位元。取并运算的单位元是∅,而串接运算的单位元是ε

(1) 取并的单位元。(∅|R )≡(R |∅)≡R

(2) 串接的单位元。εR ≡ ≡R

从空集和取并的定义中应该不难看出(1)成立的原因。要知道(2)成立的原因,如果字符串x 在L(εR )中,那么x 就是L(ε )中某个字符串与L(R )中某个字符串的串接。不过L(ε )中唯一的字符串就是ε 本身,因此可知x=εr。不过,空字符串与任意字符串r 串接的结果都是r 本身,所以x=r。也就是说x 在L(R )中。同样可以看到,如果x 在L( )中,那么x 也在L(R )中。

要证明等价对(2),不仅要证明L(εR )和L( )中的每个字符串都在L(R )中,而且要证明反向的命题,也就是L(R )中的每个字符串都在L(εR )和L( )中。如果r 在L(R )中,那么εr 就在L(εR )中。不过εr=r,所以r 在L(εR )中。同样的推理告诉我们r 也在L( )中。因此就证明了L(R )和L(εR )是相同的语言,而且L(R )和L( )是相同的语言,这就是(2)中的等价关系。

因此∅与算术中的0是类似的,而ε 则与1是类似的。还存在另一种类比,∅是串接的零元(annihilator),也就是

(3) 串接的零元。∅RR∅≡∅。换句话说,当将空集与任何内容串接时,得到的都是空集。类似地,0是乘法运算的零元,因为0×x=x×0=0。

可以通过以下方式验证(3)的真实性。为了让某个字符串x出现在L(∅R )中,就要用L(∅)中的字符串串接L(R )中的字符串。因为L(∅)中是不含字符串的,所以我们没办法形成x。类似的论证也可以证明L(R∅)也必定为空。

接下来的等价关系是我们在第7章中讨论过的并集运算的交换律和结合律。

(4) 取并的交换律。(R | S )≡(S | R )。

(5) 取并的结合律。((R | S ) | T )≡(R | (S | T ))。

正如我们提过的,串接也是有结合性的。也就是

(6) 串接的结合律。(((RS )T)≡(R (ST ))。

要知道(6)为何成立,先假设字符串x 在L((RS )T )中,那么x 就是由L(RS )中的某字符串y 和L(T )中某字符串t 串接而成。还有,y 一定是由L(R )中的某字符串r 和L(S )中的某字符串s 串接而成,因此有x=yt=rst。现在考虑L(R (ST ))。字符串st 一定在L(ST )中,因此rst,也就是x,是在L(R (ST ))中的。因此L((RS )T )中的每个字符串x 都一定也在L(R (ST ))中。相似的论证告诉我们L(R (ST ))中的每个字符串也一定在L((RS )T )中。因此这两种语言是相同的,所以等价关系(6)成立。

(7) 串接对取并的左分配律。(R (S |T ))≡(RS |RT )。

(8) 串接对取并的右分配律。((S |T )R )≡(SR |TR )。

我们看看(7)为什么成立,(8)成立的原因也是相似的,就留作习题吧。如果x 在L(R (S |T ))中,那么x=ry,其中r 在L(R )中,而且y 要么在L(S )中,要么在L(T )中,或者同在这两者中。如果y 在L()中,那么x 在L(RS )中,而如果y 在L(R )中,那么x 在L(RT )中。不管是哪种情况,x 都是在L(RS |RT )中。因此L(R (S |T ))中的每个字符串都在L(RS |RT )中。

我们还可以证明反向的命题,也就是说L(RS |RT )中的每个字符串都在L(R (S |T ))中。如果x 在前者中,那么x 要么在L(RS )中,要么在L(RT )中。假设x 在L(RS )中。那么x=rs,其中r 在L(R )中,s 在L(S )中。因此s 在L(S |T )中,所以x 在L(R (S |T ))中。同样,如果x 在L(RT )中,就可以证明x 一定在L(R (S |T ))中。现在我们就证明了两个方向上的包含,这样就证明了等价关系(7)。

10.7.2 取并和串接与加法和乘法的区别

取并运算与加法不尽相同的原因之一就是幂等律。也就是说,取并运算是幂等的,但加法不是。

(9) 取并的幂等律。(R |R )≡R

串接也与乘法有重大差异,因为串接不具交换性,而实数或整数的乘法是满足交换律的。要知道RS 一般来说与SR 不等价的原因,可以举个简单例子,设R=a而且S=b,则有L(RS )={ab},且L(RS )={ba},而这两个集合是不同的。

10.7.3 涉及闭包的等价

还有其他一些与闭包运算符有关的实用等价关系。

(10) ∅*≡ε。大家可以验证该式的两边都表示语言{ε }。

(11) RR *≡R *R。请注意,该式两边都与10.6节扩展表示法中的R+是等价的。

(12) (RR *|ε )≡R *。也就是说,R+和空字符串取并是与R *等价的。

10.7.4 习题

1. 证明等价关系(8),即串接对取并的右分配律是成立的。

2. 通过变量替换,可以从已经陈述的等价关系得出等价关系∅∅≡∅和εε ≡ε,其中要利用到哪些等价关系?

3. 证明等价关系(10)到(12)。

4. 证明:

(a) (R |R *)≡R *;

(b) (ε |R *)≡R *。

5. * 是否存在特定的正则表达式R 和S 满足“交换律”,也就是说,对这些特殊的表达式来说,满足RS=SR?如果不存在,请给出证明,如果存在,请给出示例。

6. * 正则表达式中不需要操作数∅,除非没有∅就找不到语言为空集的正则表达式。如果正则表达式中未出现∅,就说它是无∅的。通过对无∅正则表达式R 中出现的运算符个数进行归纳,证明L(R )不是空集。提示:10.8节中将会展示对正则表达式中出现的运算符的数量进行归纳证明的示例。

7. ** 通过对正则表达式R 中出现的运算符的数量进行归纳证明:R 要么与正则表达式∅等价,要么与某个无∅正则表达式等价。

10.8 从正则表达式到自动机

记得我们在10.2节中对自动机的初步讨论,其中看到了在确定自动机与利用了“状态”概念(用以区分程序中不同部分扮演的角色)的程序之间存在的紧密关系。然后我们说过,设计确定自动机往往是设计这类程序的一种好方法。不过我们还看到,确定自动机可能难于设计。在10.3节中看到,有时候设计非确定自动机要更简单,而且子集构造让我们可以把任意非确定自动机转换成等价的确定自动机。现在我们又知道了正则表达式,接下来会看到,写出正则表达式甚至比设计非确定自动机更简单。

而且很好的是,存在某种方式可以把任意正则表达式转换成非确定自动机,接着就可以使用子集构造将得到的非确定自动机转换成确定自动机。事实上,我们在10.9节中还会看到,也能把任意自动机转换成相应的正则表达式,其中正则表达式的语言刚好是自动机接受的字符串集合。因此自动机和正则表达式有着一模一样的语言描述能力。

并非所有语言都能用自动机描述

尽管我们看到很多语言可以用自动机或正则表达式描述,但还是存在不能这样描述的语言。直觉就是“自动机不会数数”。也就是说,如果为具有n个状态的自动机提供一列n个相同符号,它肯定会进入同一状态两次,这样它就不能确切记住已经看到了多少符号。因此,比方说自动机不可能识别所有只由平衡圆括号组成的字符串。因为正则表达式和自动机定义了相同的语言,所以同样不会有语言刚好全是平衡圆括号字符串的正则表达式。我们将在10.9节中讨论哪些语言是不可以用自动机定义的。

在本节中,我们要完成以下任务,说明如何把正则表达式转换成自动机。

1. 引入具有ε 转换的自动机,也就是,具有标号为ε 的弧的自动机。这些弧用在路径中,但不会对路径的标号产生任何影响。这种形式的自动机是正则表达式与本章先前讨论过的自动机之间的中间体。

2. 展示如何把任意正则表达式转换成定义同一语言的具有ε 转换的自动机。

3. 展示如何把任意具有ε 转换的自动机转换成接受同一语言的不含ε 转换的自动机。

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