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丹阳市，江苏省辖县级市，由镇江市代管，位于江苏省南部，介于北纬31°44′～32°08′、东经119°23′～119°53′之间，总面积1047平方公里。丹阳属亚热带季风气候，具有气候湿润、光照充足、雨量丰沛、无霜期长、四季分明的气候特征。截至2019年，丹阳市辖2个街道、10个镇。常住人口80.63 万人。 [1] 

丹阳建置始于战国时期，初为云阳邑。《山海经》中有一条河叫“丹水”，即丹江，根据“山水阴阳，水北为阳”的理论命名丹阳。 [2]  1987年12月，丹阳撤县设市，为丹阳市，由镇江市代管。丹阳市与常州市新北区交界处建有常州奔牛国际机场，沪宁高速公路（G42沪蓉高速）、312国道、122省道、338省道等是通过公路出入丹阳的主要干道，水运有京杭大运河纵贯丹阳，大港港口是对外开放的长江第三大港。 [3] 

2019年，丹阳市实现地区生产总值1121.99亿元，同比增长4.7%。 [4]  2018年12月，入选全国县域经济综合竞争力100强，2018中国大陆最佳商业城市100强、中国最佳县级城市30强。 [5]  2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市。 [6]  2019全国营商环境百强县。 [7]  2019年国家卫生城市。 [8]  2020年12月，社科院发布《全国县域经济综合竞争力100强》，丹阳排名第40 [9]  。

4请在图灵社区本书主页上查看该图的彩色版本。——编者注

再次将导数图与原始函数的斜率进行比较，可以看到链式法则确实正确地计算了导数。

基于以上理解，现在再来看一下具有多个输入的复合函数，这类函数遵循已经建立的相同原理，最终将更适用于深度学习。

1.6　多输入函数

至此，我们已经从概念上理解了如何将函数串在一起形成复合函数，并且知道了如何将这些函数表示为一系列输入或输出的盒子，以及如何计算这些函数的导数。一方面通过数学公式理解了导数，另一方面通过“向前”组件和“向后”组件，根据传递过程中计算出的量理解了导数。

在深度学习中处理的函数往往并非只有一个输入。相反，它们有多个输入，在某些步骤中，这些输入以相加、相乘或其他方式组合在一起。正如下面介绍的，我们同样可以计算这些函数的输出相对于其输入的导数。现在假设存在一个有多个输入的简单场景，其中两个输入相加，然后再输入给另一个函数。

数学

在这个例子中，从数学意义上开始讨论实际上很有帮助。如果输入是  和 ，那么可以认为函数分两步进行。在步骤 1 中， 和  传到了将它们相加的函数。将该函数表示为 （整个过程使用希腊字母表示函数名），然后将函数的输出表示为 。从形式上看，这样很容易表示：

步骤 2 是将  传给某个函数 （ 可以是任意连续函数，例如 sigmoid 函数或 square 函数，甚至是名称不以  开头的函数）。将此函数的输出表示为 ，也就是：

将整个函数用  表示，可以写作：

从数学意义上理解，这样更为简洁，但这实际上是两个按顺序执行的运算，这一点在表达式中较为模糊。为了说明这一点，来看示意图。

示意图

既然谈到了多输入函数，现在来定义我们一直在讨论的一个概念：用箭头表示数学运算顺序的示意图叫作计算图（computational graph）。例如，图 1-12 展示了上述函数  的计算图。

图 1-12：多输入函数

可以看到，两个输入进入  输出 ，然后  再被传递给了 。

代码

对此进行编码非常简单。但是要注意，必须添加一条额外的断言：

def multiple_inputs_add(x: ndarray,
                        y: ndarray,
                        sigma: Array_Function) -> float:
    '''
    具有多个输入和加法的函数，前向传递。
    '''
    assert x.shape == y.shape

    a = x + y    return sigma(a)复制代码

与本章前面提到的函数不同，对于输入 ndarray 的每个元素，这个函数不只是简单地进行“逐元素”运算。每当处理将多个 ndarray 作为输入的运算时，都必须检查它们的形状，从而确保满足该运算所需的所有条件。在这里，对于像加法这样的简单运算，只需要检查形状是否相同，以便逐元素进行加法运算。

1.7　多输入函数的导数

可以根据函数的两个输入来计算其输出的导数，这一点很容易理解。

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