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固安县，隶属河北省廊坊市。地处华北平原北部，京津保三角腹地，东经116°17'，北纬39°19'。东与永清县相连，西与保定的涿州市、高碑店市相邻，南与霸州市、雄安新区接壤，北隔永定河，与北京市大兴区相望。全县幅员面积696平方千米，下辖9个乡镇、1个省级园区，419个行政村，耕地65万亩，人口52万。 [1] 

固安地理位置优越。古有“天子脚下”之称，今有“京南明珠”美誉。距北京天安门50公里，距北京大兴国际机场8公里。

固安是京津冀实施“一线两厢”战略的“一线”前沿地带，也是廊坊城市建设“大三点”组团的重要支点。先后被国家有关部门授予“中国温泉之乡”、“中国花木之乡”、“中国钓具之乡”、“中国民间文化艺术之乡”、“中国矿泉水之乡”等称号。2014年，中国城市竞争力研究会18日公布了“2014中国县域成长竞争力排行榜”，廊坊市固安县跻身于50强，位居第42位，是河北唯一入围50强的县（市）。2015年，全国县域经济最具创新力十强排名，固安为河北唯一上榜的城市，位居第一。2018年11月，被科技部确定为首批创新型县（市）。 [2]  2018年12月，入选全国县域经济投资潜力100强。 [3]  2019年10月8日，入选2019年度全国投资潜力百强县市。 [4]  2019年度全国绿色发展百强县市，排名第82名。 [5]  2020中国夏季休闲百佳县市。 [6]  2020年5月，入选县城新型城镇化建设示范名单。 [7]  2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

示例 14.9

考虑表达式

u(X )OR(∃X )w(X )

也就是说，“要么X 带着伞，要么有某个人会被淋湿”。相应的表达式树如图14-4所示。正如之前的例子中那样，这里出现的两个X 指的是不同个体。w 中出现的X 是受到存在量词约束的。不过，在u 中出现的X 之上没有对应X 的量词，因此这次出现的X 在给定的表达式中是自由变量。这个例子说明，在某表达式中同一变量可能同时作为自由变量和作为约束变量出现，所以在某些情况下，我们会说“作为约束变量出现”而不是直接说“约束变量”。示例14.7和14.8中的表达式表明，出现在不同位置的相同变量，也可能分别受到出现在不同位置的相同量词的约束。

图 14-4　对应u(X )OR(∃X )w(X )的表达式树

14.4.4　习题

1. 从以下表达式中删除多余的括号。

(a) (∀X )((∃Y )(NOT(p(X )OR(p(Y )AND q(X )))))

(b) (∃X )((NOT p(X ))AND((∃Y )(p(Y ))OR(∃X )(q(X,Z ))))

2. 为习题1中的表达式画出表达式树。如果出现的变量是受量词约束的，则指出它是受哪个量词约束的。

3. 重写习题1中的表达式(b)，使得其中的量词不含相同的变量。

4. * 在前文附注栏“量词的次序”中，我们谈论了量词loves(X,Y )，并为其给出了预料之中的粗略解释。不过，正如我们将在14.5节中看到的，谓词没有具体的解释，而且也可以拿loves来谈论整数而非个人，并为loves(X,Y )给出Y=X+1这样的粗略解释。在这种解释下，比较(∀X )(∃Y )loves(X,Y )和(∃Y )(∀X )loves(X,Y )的含义。它们的粗略解释各是什么？如果可能的话，大家会相信哪个？

5. * 利用之前例子中的谓词csg，写出断言以下内容的表达式。

(a) C.Brown是个A等生（即他所有课程的成绩都是A）。

(b) C.Brown不是A等生。

6. * 设计文法，描述合法的谓词逻辑表达式。大家可以使用常量和变量这样具有象征性的终结符，而且不需要考虑重复括号的问题。

14.5　解释

直到现在，我们对谓词逻辑表达式有何“含义”，或者说是对如何为表达式赋予含义的了解还是相当模糊。这里要通过先回顾命题逻辑表达式E 的“含义”来阐释这一主题。命题逻辑表达式的含义是接受“真值赋值”（为E 中的命题变量指定真值0和1的情况）作为参数，并产生0或1作为结果的函数。根据给定的真值赋值，用0或1替代表达式E 中的各原子操作数，并求出E 的值，从而确定结果。换句话说，逻辑表达式E 的含义就是为各组真值赋值给出相应E 值（0或1）的真值表。

而真值赋值是接受命题变量作为参数，并为各参数返回0或1的函数。换句话说，可以把真值赋值视为给各命题变量给定某一真值（0或1）的表格。图14-5展示了这两种函数的角色。

图 14-5　命题逻辑中表达式的含义

在谓词逻辑中，为谓词指定常数0或1（TRUE或FALSE）是不够的，除非谓词不含参数，而这种情况下它们从本质上讲就是命题变量。不过，为谓词赋的值本身是歌函数，它接受谓词参数的值作为输入，并产生0或1作为输出。

更加精确地讲，首先必须从变量可能的取值中选取一些值构成非空的定义域D。这一定义域可以是任何内容：整数、实数，或由没有特殊名称或意义的值构成的某个集合。不过，假设定义域含有出现在表达式本身中的所有常量。

现在，设p是具有k个参数的谓词。那么谓词p的解释就是接受定义域元素到p 中k 个参数的赋值作为输入，并返回0或1（TRUE或FALSE）的函数。或者说，可以把p的解释看作具有k 列的关系。对让p 在该解释中为真的各参数赋值来说，在该关系中都存在相应的元组。4

4与第8章中谈论的关系不同，作为谓词解释的关系可能具有无限多的元组。

现在可以把表达式E 的解释定义为：

1. 非空的定义域D，含有E 中出现的任何常量，

2. 对E 中出现的各谓词p 的解释，以及

3. D 中对应表达式E 各自由变量的值（如果存在自由变量的话）。

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