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涿州市，古称涿鹿、涿邑、涿郡、范阳、涿州路、涿县。河北省保定市代管县级市。 [1]  地处河北省中部、保定市北部，地处京、津、保三角地带，京畿南大门。区位优势得天独厚，地质构造属太行山山洪冲积扇，地势平坦，土质肥沃，拥有丰富的水利、地热和沙石料资源，古有“幽燕沃壤"， “督亢膏腴"之称。

涿州市总面积742.5平方千米。截至2019年3月，涿州市户籍总人口70.15万。涿州市辖3个街道、10个镇、1个乡，另设有高新技术产业开发区和京南经济开发区。 [2]  市政府驻双塔街道范阳西路51号。

1986年9月24日，经国务院批准撤销涿县，设立涿州市（县级市）。 [3]  2008年，涿州市被河北省人民政府批准为“省级历史文化名城”。 [4]  2019年12月6日，涿州市入选“2019年投资潜力全国百强县（市）”。 [5] 

2018年，涿州市地区生产总值完成379.2亿元，同比增长6.1%；其中，第一产业增加值21.8亿元，同比增长3.5%；第二产业增加值140.2亿元，同比增长4.8%；第三产业增加值217.2亿元，同比增长7.3%。人均地区生产总值为61054元，同比增长5.7%。 [6]  2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

归纳。假设该命题对k成立，并考虑输入字符串a1a2…akak+1。那么标记为a1a2…akak+1的从D的起始状态到状态T的路径就如图10-22所示，也就是说，在它针对输入ak+1进行到T的转换（最后一次转换）之前，会经过某个状态S。

图 10-22　S 是D 在到达状态T 之前到达的状态

通过归纳假设，可以假设S 正好是自动机N 从其起始状态沿着标记为a1a2…ak 的路径所能到达的状态组成的集合，并必须证明T 刚好是从N 的起始状态出发沿着标记为a1a2…akak+1的路径所能到达的状态组成的集合。该归纳步骤的证明包含下列两个部分。

(1) 必须证明，T不含过多的状态，也就是说，如果t是在T中的N的状态，那么t是从N的起始状态沿着标记为a1a2…akak+1的路径可以到达的。

(2) 必须证明，T包含足够的状态，也就是说，如果t是从N的起始状态沿着标记为a1a2…akak+1的路径可以到达的状态，那么t就在T中。

对(1)来说，设t 在T 中。那么，如图10-23所示，在S 中一定存在一个状态s，可以证实t 在T 中。也就是说，在N 中存在从s 到t 的转换，而且它的标号包含ak+1。根据归纳假设，因为s 在S 中，所以肯定存在从N 的起始状态到s 的标记为a1a2…ak 的路径。因此，存在从N 的起始状态到t，标记为a1a2…akak+1的路径。

图 10-23　S 中的状态s 解释了为何将状态t 放进T 中

现在必须证实(2)，也就是如果存在从N 的起始状态到t 的，标记为a1a2…akak+1的路径，那么t 就在T 中。就在这条路径针对输入ak+1进行到t 的转换之前，肯定会经过某个状态s。因此，存在从N 的起始状态开始到s，标记为a1a2…ak 的路径。根据归纳假设，s 在状态集S 中。因为N 具有从s 到t 而且标号含有ak+1的转换，所以应用到状态集S 和输入符号ak+1上的子集构造需要t 被放置到T 中。因此t 在T 中。

在给定归纳假设的情况下，现在就证明了，T 刚好是由N 中从N 的起始状态开始沿着标记为a1a2…akak+1的路径可达的状态组成的。这就是归纳步骤，因此可以得出，沿着标记为a1a2…ak 的路径到达的确定状态机D 的状态，永远都是N 沿着标号相同的路径可达的状态组成的集合。因为D 的接受状态是那些包含N 的某个接受状态的状态集，所以可以得到D 和N 接受相同字符串的结论，也就是说D 和N 是等价的，所以子集构造是“行得通的”。

10.4.4　习题

1. 利用子集构造，把10.3节习题3中的非确定自动机转换成确定自动机。

2. 图10-24a到图10-24d中的非确定自动机可以识别什么模式？

3. 把图10-24a到图10-24d中的非确定自动机转换成确定有限自动机。

自动机的最小化

与自动机相关，特别是在利用自动机设计电路时会遇到的一个问题就是，执行某给定任务需要多少状态。也就是说，我们可能要问，给定某自动机，是否存在状态更少的等价自动机?如果这样的话，那么这样的等价自动机中最小的状态数量是多少？

事实证明，如果将问题限制在确定自动机的范畴，那么与任意给定自动机等价的最小状态确定自动机是唯一的，而且很容易找到它。关键就在于定义确定状态机两个状态s 和t 什么时候是等价的，也就是说，对任意的输入序列，分别从s 和t 出发而且由该序列标记的路径，要么都能到达接受状态，要么都不能到达。如果状态s 和t 是等价的，就没法通过为自动机提供输入来区分这两者，因此就可以把s 和t 合并为一个状态。事实上，按照如下方式定义不等价的状态要更容易。

依据。如果s 是接受状态而t 是不接受，那么s 和t 是不等价的，反之亦然。

归纳。如果存在某输入符号x，使得针对输入x 存在从状态s 和t 分别到两个已知状态的转换不等价，那么s 和t 就是不等价的。

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