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燕郊镇，隶属于河北省廊坊市三河市，地处三河市西部，东、东南、南与大厂回族自治县接壤，西濒潮白河、隔河与北京市通州区相望，西北、北与高楼镇为邻， [7]  区域面积108平方千米，截至2018年，户籍人口351483人。 [6] 

民国三十七年（1948年），属三河县四区。1958年，为红星公社。1983年，改为燕郊镇。 [7]  截至2020年6月，燕郊镇下辖55个行政村。 [8] 

2018年，燕郊镇有工业企业796个，其中规模以上77个，有营业面积超过50平方米以上的综合商店或超市396个。

示例 12.30

现在重新考虑示例12.29，不过这次要从3个前提子句和所需结论的否定——子句(w)——开始。0的分解证明如图12-26所示。利用反证法，可以得出这些前提蕴涵了所需的结论。

图 12-26　利用反证法的分解证明

12.11.4　习题

1. 利用真值表，验证表达式(12.14)是重言式。

图 12-27　习题2的命题

2. 设命题具有如图12-27给定的含义，写出表示如下概念的子句或子句之积。

(a) 如果测试T 结果为阳性，那么此人的血型为A型或AB型。

(b) 如果测试S 结果为阳性，那么此人的血型为B型或AB型。

(c) 如果某人血型为A型，那么测试T 的结果为阳性。

(d) 如果某人血型为B型，那么测试S 的结果为阳性。

(e) 如果某人血型为AB型，那么测试T 和测试S 的结果都为阳性。提示：请注意，不是子句。

(f) 一个人的血型可能是A、B、AB或O其中的一种。

3. 利用分解，找到由习题(2)中可以得出的所有重要子句。大家应该忽略那些可以简化为1（TRUE）的无关紧要的子句，还要忽略那些文字是其他某个子句D 文字真超集的子句C。

4. 为12.10节的习题(1)给出使用了分解和反证法的证明。

12.12　小结

在本章中，我们已经看到了命题逻辑的要素，包括下列这些：

• 基本运算符，AND、OR、NOT、→、≡、NAND和NOR；

• 利用真值表表示逻辑表达式的含义，包括根据表达式构造真值表以及根据真值表构造表达式的算法；

• 诸多应用到逻辑运算符的代数法则中的一部分。

我们还谈论了作为设计理论的逻辑，具体如下：

• 卡诺图如何有助于我们为至多含4个变量的逻辑函数设计简单的表达式；

• 逻辑代数法则有时候是如何用来简化逻辑表达式的。

然后，我们看到逻辑可以帮我们表示和理解常见的证明技巧，比如：

• 利用情况分析进行证明；

• 利用换质位法进行证明；

• 利用矛盾进行证明（反证法）；

• 利用对真实的归约进行证明。

最后，我们研究了演绎法，也就是一行行证明语句的构造，注意其中几点：

• 存在大量推理规则，比如“肯定前件式假言推理”，让我们可以从证明中之前的行构造新一行；

• 通过把证明的行表示为文字和，并把这些和以实用的方式组合，分解技巧通常能帮助我们迅速找到证明；

• 不过，尚无已知算法可以保证在少于以表达式大小为指数的时间内找到表达式的证明；

• 此外，因为重言式问题是“NP困难问题”，所以不存在少于指数时间的解决该问题的算法这一观点是非常可信的。

12.13　参考文献

对逻辑推理的研究可以追溯到亚里士多德的时代。Boole [1854]研究出了命题代数，而布尔代数正是由此而来。

Lewis和 and Papadimitriou [1979]对逻辑进行了稍微高级一些的处理，Enderton [1972]和 Mendelson [1987]是常见的数学逻辑处理，Manna和Waldinger [1990]从证明程序正确性的视角表现了逻辑这一主题。

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