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发表日期： 2021-04-17 15:08:24 浏览次数：191

雄安新区（Xiong'an New Area [1] ），为河北省管辖的国家级新区， [2-3] 位于河北省中部，地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域， [4] 起步区面积约100平方千米，中期发展区面积约200平方千米，远期控制区面积约2000平方千米。 [4] 2017年，雄安新区常住人口104.71万人。 [5]

2017年4月1日，中共中央、国务院印发通知，决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7] 雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸，在大清河水系冲积扇上，属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候，四季分明。 [8] 有南拒马河，大清河，白沟引河等河流过境，白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境，有G18荣乌高速公路，G2011青新高速公路，G45大广高速公路，S7津保高速公路，京雄高速公路等高速横贯全境。 [9] 2019年8月30日，雄安新区设中国（河北）自由贸易试验区雄安片区。 [10] 2019年12月，雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12]

2019年，雄安新区地区生产总值为215亿元。

12.9.1　排中律

首先要介绍一些表示与如何进行推理有关的基本事实的重言式。

12.25 排中律： $(p+\overline{p})\equiv1$ 是重言式。

也就是说，某事物要么为真，要么为假，不存在中间状态。

示例 12.22

作为法则12.25的应用，同时也利用到我们目前已经了解的若干其他法则，可以证明12.6节中用过的法则 $(pq+\overline{p}q)\equiv q$ 。首先根据法则12.1，等价的自发性，用1 AND q 替换p，就有

(1 AND q)≡(1 AND q)

接着，通过法则12.25，可以“以相等换相等”，用 $p+\overline{p}$ 替换上式左边的1，因此

((p+ $\overline{p}$ )q)≡(1 AND q)

是重言式。对该等价的右边使用法则12.10，用q 替换1 AND q。然后对左边，我们使用12.9，AND对OR的分配律，进而利用法则12.5，AND的交换律，从而证实左边与 $pq+\overline{p}q$ 等价。因此有

$(pq+\overline{p}q)\equiv q$

这正是我们想要的。

将排中律一般化，就得到了名为“情况分析”（case analysis）的证明技巧，其中我们想证明某表达式E。我们会取另一个表达式F，及其否定NOT F，并证明F和NOT F 都蕴涵E。因为F 肯定要么为真要么为假，所以我们就得出了E。情况分析的正式依据是如下重言式。

12.26 情况分析：(( $p\to q$ )AND( $\overline{p}\to q$ ))≡q。

也就是说，这两个实例是在p 为真和p 为假时发生的。如果q 被两个实例蕴涵，那么q 一定为真。我们把证明12.26可由12.25和其他已证明的法则得出这一任务留作本节习题。

12.27 $p\overline{p}\equiv 0$

命题及其否定不可能同时为真。这一法则在使用“反证法”时显得至关重要。我们很快就会在法则12.29中讨论这一证明技巧，而且在12.11介绍分解证明时也要提及。

12.9.2　换质位法

有时候我们想要证明p→q 这样的蕴涵，却发现证明 $\overline{q}\to\overline{p}$ 这一被称为p→q 的质位变换命题的等价表达式要更加简单。这一原则可以用如下法则公式化。

12.28 质位变换法则（contrapositive law）： $(p\to q)\equiv(\overline{q}\to\overline{p})$ 。

示例 12.23

我们来考虑一个简单的例子，向大家展示可以如何利用质位变换法则。这个示例还表现了

命题逻辑在证明过程中的局限。逻辑只能完成部分工作，允许我们在不参考命题本身含义的情况下对命题进行推理。不过，要得到完整的证明，通常还必须指定一些参数，让它们指代各项的含义。对本例来说，我们需要知道像“质数”、“奇数”和“大于”这样与整数有关的概念的含义是什么。

我们要考虑下面3个与正整数x 有关的命题

a	“x>2”
b	“x是质数”
c	“x是奇数”

我们想要证明的定理就是ab→c，也就是

命题 “如果x 大于2且是质数，那么x 是奇数。”

首先要应用已经了解的一些法则，将表达式ab→c 变形为更方便证明的等价表达式。首先，我们要利用法则12.28将其变成质位变换命题的形式 $\overline{c}$ →NOT(ab)。然后利用德摩根律12.20(a)将NOT(ab)变形为 $\overline{a}+\overline{b}$ 。也就是说，可以把该定理变形为 $\overline{c}\to(\overline{a}+\overline{b})$ 。换句话说，需要证明

命题 “如果x 不是奇数，那么它要么不大于2，要么不是质数。”

我们可以把“不是奇数”替换为“是偶数”，“不大于2”替换成“小于等于2”，并把“不是质数”替换为“是合数”。因此要证明的是

命题 “如果x是偶数，则要么有x<2，要么有x是合数。”

现在已经将命题逻辑应用到极致了，接下来必须开始谈论这些项的含义了。如果x 为偶数，那么对某个整数y 而言有x=2y，这也就是x 为偶数的含义。因为在该证明中假设了x 为正整数，所以y 一定是大于等于1的。

现在可以使用情况分析了，分别考虑y=1和y>1这两种情况，因为我们论证过y≥1，所以这是仅有的两种情况。如果y=1，那么x=2，这样就证明了x≤2。如果y>1，那么x 是2和y 这两个都大于1的整数的积，这就表示x 是合数。因此我们证明了，如果x 是偶数，那么要么有x≤2（在y=1情况下），要么有x 是合数（在y >1的情况下）。

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12.9.1 排中律

示例 12.22

12.9.2 换质位法

示例 12.23

12.9.1　排中律

12.9.2　换质位法