雄安新区小程序制作【雄安新区企业邮箱】雄安新区网站外包、雄安新区微信商城开发、雄安新区网店美工、雄安新区淘宝设计

雄安新区小程序制作【雄安新区企业邮箱】雄安新区网站外包、雄安新区微信商城开发、雄安新区网店美工、雄安新区淘宝设计

雄安新区（Xiong'an New Area [1]  ），为河北省管辖的国家级新区， [2-3]  位于河北省中部，地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域， [4]  起步区面积约100平方千米，中期发展区面积约200平方千米，远期控制区面积约2000平方千米。 [4]  2017年，雄安新区常住人口104.71万人。 [5] 

2017年4月1日，中共中央、国务院印发通知，决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7]  雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸，在大清河水系冲积扇上，属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候，四季分明。 [8]  有南拒马河，大清河，白沟引河等河流过境，白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境，有G18荣乌高速公路，G2011青新高速公路，G45大广高速公路，S7津保高速公路，京雄高速公路等高速横贯全境。 [9]  2019年8月30日，雄安新区设中国（河北）自由贸易试验区雄安片区。 [10]  2019年12月，雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12] 

2019年，雄安新区地区生产总值为215亿元。

3作为特例，为某个变量x选择的树可能是标号为x的单个节点，就和没有对x 进行替换一样。

图 12-21　对图12-20中变量的替换

一旦图12-21中Tp 和Tq 这样的树的根节点完成求值，就得到与图12-20所示的原有的树根节点处变量相同的值。也就是说，不管我们为出现的那些Tp 算出什么样的值，它们一定是全部相同的，我们要取这个值，并将其指定给原有的树中标号为p 的叶子节点。我们还要为q 进行相同的处理，而且一般来说，要为出现在原有的树中的任何节点进行这一处理。因为原有的树表示重言式，所以可知为该树求值会在根节点得到值TRUE，而且新构造的树也能在根节点处生成值TRUE。因为不管为新树中的变量进行怎样的值替换，以上推理都能保持成立，所以可以得出结论：由新树表示的表达式也是重言式。

12.7.2　重言式问题

重言式问题就是测试某给定逻辑表达式是否等价于TRUE，也就是说，测试该表达式是否为重言式。有一种简单方式可以解决该问题。为该表达式构建真值表，其中每一行对应表达式中各变量的一种真值赋值。然后为该表达式的表达式树中各个内部节点创建一列，并按照合适的从下到上的次序，针对变量的各种真值赋值为各个节点求值。当且仅当对每种真值赋值而言整个表达式的值都是1（TRUE）时，该表达式是重言式。示例12.18就展示了这一过程。

12.7.3　重言式测试的运行时间

如果表达式有k 个变量和n 个运算符，那么这种真值表就有2k 行和n 列需要填写。因此我们可以预期这种算法的简单实现要花O(2kn) 的时间。这一时间对只有两三个变量的表达式来说并不长，即便是对20个变量来说，用计算机也只需要几分钟就能完成测试。不过，对30个变量而言，有10亿行，就算是使用计算机，也几乎没法完成这一测试。这一结果是用到指数时间算法的典型下场。对较小的实例来说，一般看不出什么问题。但随着问题实例变大，突然间我们会发现，即使有着速度最快的计算机，也不可能在可以接受的时间内解决这个问题。

图 12-22　P 是可在多项式时间内解决的问题族，NP 是可在非确定多项式时间内解决的问题族，NPC 则是NP 完全问题族

固有的难解问题

重言式问题“E 是否为重言式”看似天生是指数时间的问题。也就是说，如果表达式E 中有k 个变量，所有已知解决重言式问题的算法的运行时间都是k 的指数函数。

存在这样一类称为NP完全问题的问题，其中包含了很多重要的优化问题，而没人知道如何在少于指数时间的时间内解决这些问题。很多数学家与科学家经过长时间的艰难尝试，试着为这些问题中至少一个问题找到运行时间少于指数时间的算法，不过这样的算法还没被找到过，而很多人现在怀疑根本不存在这样的算法。

可满足性问题（satisfiability problem）就是一个经典的NP完全问题，这个问题是说“是否存在一种真值赋值让逻辑表达式为真？”可满足性问题与重言式问题有着密切的关系，而且就像重言式问题一样，对可满足性问题来说，也没有比循环经历所有可能的真值赋值好更多的解决方案了。

要么所有的NP完全问题都具有少于指数时间的解决方案，要么所有的NP完全问题都没有这样的解决方案。因此各NP完全问题看似需要指数时间这一事实让我们更加相信这些问题天生是指数时间的问题。有很强的迹象表明这种简单的可满足性测试就是最好的做法了。

顺便提一句，NP代表“非确定多项式”（Nondeterministic Polynomial）。粗略地讲，“非确定”就意味着“猜测正确的能力”，正如10.3节中讨论过的。如果为针对某个大小为n的实例的解决方案给出一次猜测，我们可以在多项式时间（也就是对某常数c 而言的时间nc）内验证该猜测是正确的，就说该问题能在“非确定多项式时间内解决”。

可满足性是这种问题的一个例子。如果为变量给出一组声明（或者说猜测）为可以使表达式E 得到值1的真值赋值，我们可以将赋值代入操作数为E 求值，并在至多为E 的长度的二次方的时间内验证该表达式是否得到满足。

像可满足性问题这样可以通过猜测加上多项式时间的验证来“解决”的这类问题称为NP 问题。有一些NP 问题其实是相当简单的，不经过猜测就可以解决，而且只需要花输入长度的多项式的时间。不过，有很多NP 问题被证实非常难，而这些问题就是NP完全问题。（不要把这里表示“这类问题中最难”的“完全”，与之前表达式“能表示每个布尔函数”的“运算符完全集”中的“完全”弄混了。）

在多项式时间内不通过猜测就可以解决的问题族通常称为P。图12-22展示了P、NP 和NP完全问题之间的关系。如果任何NP完全问题在P 中，那么p=NP，我们会非常怀疑这种情况，因为所有已知的NP完全问题以及一些其他的NP 问题，都不会出现在P 中。没人相信重言式问题会在NP 中，不过它的难度不低于NP 中的任何问题（被称为NP 难题），而且如果重言式问题在p 中，那么有p=NP。

12.7.4　习题

1. 以下表达式中哪些是重言式？

(a) pqr →p+q

(b) ((p→q)(q→r ))→(p→r )

(c) (p→q)→p

(d) 

2. * 假设有一种为逻辑表达式解决重言式问题的算法，说明如何用这种算法实现下列目的。

(a) 确定两个表达式是否等价。

(b) 解决有关可满足性的问题（见上文附注栏“固有的难解问题”）。

12.8　逻辑表达式的一些代数法则

在本节中，我们将列举一些实用的重言式。在各种情况中，我们都只陈述法则，而将重言式的验证工作留给读者通过构造真值表来完成。

12.8.1　等价的法则

首先要从一些与等价如何起效有关的结论开始。大家应该注意到等价性在这里的双重身份。它是我们在逻辑表达式中使用的众多运算符之一。不过，它也是表示两个表达式“相等”并能互相替换的符号。因此形如E1≡E2这样的重言式表明了一些与E1和E2有关的信息，即利用“相等可以由相等替换”的原则，它们在更大的表达式中是可以相互替换的。

此外，我们可以利用等价证明其他的等价。如果有一列表达式E1、E2、…、Ek，满足每个表达式都能通过相等换相等的替换从前一个表达式得到，那么在用相同的真值赋值为这些表达式求值时，它们会得到相同的值。这样一来，E1≡Ek 一定是重言式。

12.1 等价的自反性：p≡p。

正如我们要陈述的所有法则一样，替换原则是适用的，这样可以用任意表达式代替p。因此该法则表明任何表达式都是与自身等价的。

12.2 等价的交换律：(p≡q)≡(q≡p)。

非正式地讲，当且仅当q 等价于p 时有p 等价于q。根据替换原则，如果任一表达式E1与另一表达式E2等价，那么E2就等价于E1。因此E1和E2是可以互相替换的。

12.3 等价的传递性：((p≡q)AND(q≡r))→(p≡r)。

非正式地讲，如果p等价于q，而且q等价于r，那么p就等价于r。这条法则具有一个重要的推论，如果我们得出E1≡E2和E2≡E3是重言式，那么E1≡E3也是重言式。

12.4 否定的等价：。

当且仅当两个表达式的否定等价时，这两个表达式是等价的。

雄安新区小程序制作【雄安新区企业邮箱】雄安新区网站外包、雄安新区微信商城开发、雄安新区网店美工、雄安新区淘宝设计