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任丘市，河北省辖县级市，由沧州市代管 [1]  ，位于河北省中部，北依京津、毗邻雄安，西临白洋淀，是神医扁鹊故里，华北油田总部所在地。 [2]  全市总面积864平方公里，总人口为81万人，下辖7个街道、9个镇、3个乡，349个行政村。 [3] 

任丘地处华北平原中北部，境内主要种植小麦、玉米等粮食作物。地下石油和天然气资源富集，为华北地区重要的石油产地和石化基地。任丘是国务院确定的对外开放县市和环京津经济圈的主要市县之一， [4]  自“九五”以来，任丘综合实力一直位居河北省“十强”县市前列，并连续多年入围全国“百强”县市。2014年完成生产总值600.1亿元。 [5] 

任丘历史悠久，八千年前已有人类繁衍生息，西汉大将军任丘在此筑城为防海口而得名“任丘”，抗战时期任丘人民谱写了白洋淀游击战和地道战等家喻户晓的敌后斗争史。旅游景区有白洋淀千里堤、鄚州庙、石油矿山公园等，有任丘大鼓、冀中笙管乐等非物质文化遗产。2017年12月，当选中国工业百强县（市）。 [6] 

2018年10月，入选2018年度全国综合实力百强县市 [7]  、全国绿色发展百强县市、全国科技创新百强县市、全国新型城镇化质量百强县市。 [8-10]  2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市、 [11]  2019年度全国绿色发展百强县市、 [12]  2019年全国科技创新百强县市、 [13]  2019年度全国新型城镇化质量百强县市 [14]  。2019年，被列为第二批国家农产品质量安全县。 [15]

10.8.4　习题

1. 为以下正则表达式构造具有ε转换的自动机。

(a) aaa。提示：请记住，要为出现的每个a创建新自动机。

(b) (ab|ac)*。

(c) (0|1|1*)*。

2. 为习题1中构造的各个自动机找到由标记为ε 的弧构成的图中节点的可达集。请注意，在大家构造不含ε 转换的自动机时，只需要为初始状态和那些有非ε 转换进入的状态构造可达状态。

3. 为习题1中构造的各个自动机构造不含ε 转换的等价自动机。

4. 习题3得出的自动机中哪些是确定自动机？为其中那些非确定自动机构造等价的确定自动机。

5. * 对由习题3和习题4构造的确定自动机而言，是否存在状态更少的等价确定自动机？如果有，找出状态最少的那个。

6. * 我们可以扩展从正则表达式构造含ε 转换的自动机的过程，将正则表达式的范围扩大到包含那些使用了10.7节中扩展过的运算符的表达式。这一命题从原则上讲是成立的，因为那些扩展都是“原始”正则表达式的简略形式，我们只是用扩展的运算符替代了原有的表达式而已。不过，还可以直接把扩展过的运算符融入到我们的构造过程中。说明如何修改构造过程以涵盖下列运算符：

(a) ? 运算符（不出现或出现1次）；

(b) + 运算符（出现1次或更多次）；

(c) 字符类。

7. 我们可以修改把正则表达式转化为自动机的算法中对应串接的情况。在图10-28b中，引入了从与R1对应自动机的接受状态到与R2对应自动机的初始状态的ε 转换。另一种方式就是按照图10-37所示的方式合并R1的接受状态到R2的初始状态。使用旧算法与修改过的算法为正则表达式ab*c构造自动机。

图 10-37　另一种与两个正则表达式的串接对应的自动机

10.9　从自动机到正则表达式

本节中还要展示自动机与正则表达式等价性的另一半，证实对每个自动机A，都存在语言刚好是A所接受的字符串集合的正则表达式。尽管我们一般会使用10.8节中的构造过程，其中要把正则表达式形式的“设计”转化为确定自动机形式的程序，不过把自动机转化为正则表达式的构造过程也是很有趣很有益的,它完成了这两种截然不同的模式表示法的表现力之间的等价性的证明。

我们的构造过程涉及从自动机中一个一个地删除状态。随着构造过程的进行，会把弧上的标号由最初的字符串集合替换为更复杂的正则表达式。一开始，如果弧上的标号是{x1，x2，…，xn}，就可以把这些标号替换为正则表达式x1 | x2 | … | xn，该正则表达式从本质上讲表示的是相同的符号集合，虽然严格地讲正则表达式表示的是长度为1的字符串。

一般而言，可以将路径的标号视为路径沿线上正则表达式的串接，或是看作这些表达式的串接定义的语言。这一观点与我们用字符串标记路径的概念是一致的。也就是说，如果路径的弧是用正则表达式R1、R2、…、Rn 按此次序标记的，则当且仅当字符串w在语言L(R1R2…Rn)中时有该路径被标记为w。

示例 10.29

考虑图10-38中的路径0→1→2。正则表达式a|b和a|b|c依次标记了这两条弧，因此标记该路径的字符串集合是由正则表达式(a | b)(a | b | c)定义的语言中的字符串构成的，也就是{aa，ab，ac，ba，bb，bc}。

图 10-38　以正则表达式作为标号的路径，路径的标号是由正则表达式的串接定义的语言

10.9.1　状态消除的构造

在从自动机到正则表达式的转化中，关键的步骤就是状态的消除，如图10-39所示。我们希望消除状态u，不过必须保留弧的正则表达式标号，从而使剩余状态中两两之间路径的标号集合不发生改变。在图10-39中，状态u 的前导分别是s1、s2、…、sn，而u 的后继则分别是t1、t2、…、tm 。虽然已经证明了这些s 和t 是不相交的状态集，但其实两组中还是可能存在一些相同的状态。

图 10-39　我们想消除状态u

不过，如果u是它本身的后继，我们就要用标记为U 的弧明确表示这一事实。假设在状态u 处没有这样的自环，那么可以引入一个这样的自环，并赋予其标号∅。标号为∅的弧是“不存在的”，因为任意用到这条弧的路径标号都会是含有∅的正则表达式的串接。因为∅是串接的零元，所以这样的串接定义的都是空语言。

我们还要明确给出从s1到t1的弧R11。一般而言，假设对每个i=1、2、…、n，以及对每个 j =1、2、…、m，都存在从si 到tj 的弧，由某个正则表达式Rij 标记。如果弧si →tj 实际上不存在，就引入它并为其赋予标号∅。

最后，在图10-39中存在从各状态si 到u 的，由正则表达式si 标记的弧，而且存在从u 到各状态tj 的，由正则表达式Tj 标记的弧。如果消除节点u，那么这些弧与图10-39中标记为U 的弧都将不复存在。要让标记路径的字符串集合保持不变，就必须考虑每对si 和tj，并为弧si →tj 的标号添加一个能表示所失去内容的正则表达式。

在消除u之前，标记了从si 到u（包括多次行经的那些u →u 自环）然后从u 到tj 的路径的那些字符串集合是由正则表达式Si U *Tj 描述的。也就是说，L(Si )中的字符串可以把我们从状态si 带到到状态u，L(U *)中的字符串可以把我们从状态u 带到状态u，沿着该自环0次、1次或更多次。最后，L(Tj )中的字符串把我们从状态u 带到状态tj 。

因此，在消除状态u 和所有进出u 的弧之后，必须把弧si →tJ 的标号由Rij 替换为Rij |SiU *Tj。

存在不少实用的特例。首先，若U＝∅，即u上的自环并非真正存在，那么U *=∅*=ε。因为ε 是串接的单位元，所以(Si ε )Tj =SiTj，也就是说，U 其实在它应该出现的位置消失了。同样，如果Rij=∅，意味着之前没有从si 到tj 的弧，我们就引入这条弧，并给予其标号SiU *Tj，或者如果U=∅，就是SiTj。这样做的原因在于，∅是取并运算的单位元，因此∅|SiU *Tj=SiU *Tj 。

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