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任丘市，河北省辖县级市，由沧州市代管 [1]  ，位于河北省中部，北依京津、毗邻雄安，西临白洋淀，是神医扁鹊故里，华北油田总部所在地。 [2]  全市总面积864平方公里，总人口为81万人，下辖7个街道、9个镇、3个乡，349个行政村。 [3] 

任丘地处华北平原中北部，境内主要种植小麦、玉米等粮食作物。地下石油和天然气资源富集，为华北地区重要的石油产地和石化基地。任丘是国务院确定的对外开放县市和环京津经济圈的主要市县之一， [4]  自“九五”以来，任丘综合实力一直位居河北省“十强”县市前列，并连续多年入围全国“百强”县市。2014年完成生产总值600.1亿元。 [5] 

任丘历史悠久，八千年前已有人类繁衍生息，西汉大将军任丘在此筑城为防海口而得名“任丘”，抗战时期任丘人民谱写了白洋淀游击战和地道战等家喻户晓的敌后斗争史。旅游景区有白洋淀千里堤、鄚州庙、石油矿山公园等，有任丘大鼓、冀中笙管乐等非物质文化遗产。2017年12月，当选中国工业百强县（市）。 [6] 

2018年10月，入选2018年度全国综合实力百强县市 [7]  、全国绿色发展百强县市、全国科技创新百强县市、全国新型城镇化质量百强县市。 [8-10]  2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市、 [11]  2019年度全国绿色发展百强县市、 [12]  2019年全国科技创新百强县市、 [13]  2019年度全国新型城镇化质量百强县市 [14]  。2019年，被列为第二批国家农产品质量安全县。 [15]

10.8.1　具有 ε 转换的自动机

首先要将自动机的概念扩展到允许为弧标记ε。这样的自动机仍然是当且仅当从起始状态到接受状态存在标记为s 的路径时才接受字符串s。不过请注意，空字符串ε 在字符串中是“不可见的”，因此在为路径构建标号时，我们其实删除了所有的ε，并且只使用“真实”的字符。

示例 10.24

考虑如图10-26所示的具有ε 转换的自动机。在这里，状态0是起始状态，而状态3是唯一的接受状态。从状态0到状态3的一条路径为

0，4，5，6，7，8，7，8，9，3

这些弧的标号就构成了序列

ε b ε ε c ε c ε ε

只要记得ε 与任意其他字符串串接得到的都是那个其他字符串，就可以“丢掉”这些ε得到字符串bcc，这就是正在考虑的路径的标号。

图 10-26　表示a|bc*的具有ε转换的自动机

大家可能会发现，从状态0到状态3的路径的标记只会是a、b、bc、bcc、bccc，等等。表示该集合的正则表达式是a | bc*，而且我们会看到图10-26中的自动机可以自然地由这一正则表达式构建而来。

10.8.2　从正则表达式到具有ε 转换的自动机

我们可以利用根据对正则表达式中运算符数量进行完全归纳得出的算法，把正则表达式转换成自动机。这一思路类似于我们在5.5节中介绍过的对树的结构归纳，而且如果用正则表达式的表达式树（其中原子操作数是树叶，而运算符在中间节点位置）来表示它们，这种对应就会变得更加明朗。要证明的命题如下。

命题S(n)。如果R 是含n 个运算符，而且不含变量作为原子操作数的正则表达式，那么存在具有ε 转换的自动机A，只接受L(R )中的字符串。此外，A 满足如下所有条件：

1. 只有一个接受状态；

2. 没有弧通向它的起始状态；

3. 没有弧从它的接受状态出发。

依据。如果n=0，那么R 一定是一个原子操作数，它可能是∅、ε，或是对应某个符号x的x。在这3种情况下，可以设计满足命题S(0)要求的双状态的自动机，这些自动机如图10-27所示。

图 10-27　依据情况中的自动机

请务必理解，这里为正则表达式中出现的每个操作数创建了新的自动机，而且所具有的状态与其他任何自动机的状态都不一样。例如，如果在表达式中出现3个a，我们就会创建3个不同的自动机，总共有6个状态，每个自动机都与图10-27c所示的自动机类似，只不过用a替代了其中的x。

图10-27a中的自动机显然不接受任何字符串，因为我们没办法从起始状态到达接受状态，因此它的语言为∅。图10-27b是对应ε 的，因为它只接受空字符串。图10-27c是只接受字符串x的自动机。我们可以用为符号x选择的不同值创建新的自动机。请注意，这些自动机都能满足上述3个要求，只有一个接受状态，没有进入起始状态的弧，也没有从接受状态出发的弧。

归纳。现在假设S(i )对所有的i≤n 都成立，也就是说，对任意最多具有n 个运算符的正则表达式R 来说，存在自动机满足归纳假设的条件，并且只接受L(R )中的所有字符串。现在，设R 是具有n+1个运算符的正则表达式。我们可以将注意力放在R“最外侧”的运算符上，也就是说，R 只可能是R1|R2、R1R2或R1*这样的形式，具体取决于形成R 时最后用到的那个运算符是区别、串接还是闭包。

在这3种情况的任意一种中，R1和R2都不可能具有n 个以上运算符，因为R中有一个运算符不属于R1和R2中的任何一个。7因此，归纳假设在所有这3种情况下都是适用于R1和R2的。我们可以通过依次考虑这几种情况来证明S(n+1)。

7不要忘了，即便串接是通过并置操作数来表示的，并没有可见的运算符符号，但在确定R 中出现了多少个运算符时，仍然要将串接的使用记入运算符出现的次数中。

情况1。如果R=R1|R2，那么可构建图10-28a中的自动机。取R1和R2，并添加两个新状态（一个起始状态和一个接受状态），从而构造了该自动机。与R对应的自动机的起始状态具有到与R1和R2对应的自动机起始状态的ε 转换。这两个自动机的接受状态分别有到对应的自动机接受状态的ε 转换。不过，与R1和R2对应的自动机的起始状态与接受状态不是构造出的自动机的起始状态和接受状态。

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