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迁安市，河北省直辖县级市，由唐山市代管，位于河北省东北部，燕山南麓，滦河岸边，介于东经118°37′～118°55′，北纬39°51′～40°15′之间，市境纵跨直线距离45公里，横跨直线距离39公里。东隔青龙河与秦皇岛市卢龙县相望，南与滦州市相邻，西接迁西县，北以长城为界与秦皇岛市青龙满族自治县毗邻，全市总面积1227平方公里。 [1]  市人民政府驻地永顺街道 [2]  。

迁安市境内地势西北高，东南低，属暖温带、半湿润季风性气候，境内主要风景区有迁安博物馆、白羊峪、黄台山公园和黄台湖等。 [3] 

迁安西距北京市220公里、距天津市190公里、距唐山市80公里，东距秦皇岛市110公里，北距承德市170公里，南距京唐港100公里。临近京唐港、曹妃甸港、天津新港、秦皇岛港。境内北京－哈尔滨高速公路、北京－秦皇岛高速公路、102国道、三抚公路和津山铁路、大秦铁路、通坨铁路横贯东西，冷大公路、卑水铁路、迁曹铁路纵穿南北。津秦高铁在迁安设有客运站，即滦河站。

迁安先后被授予全国文明城市、国家卫生城市、国家园林城市、中国宜居城市、世界健康城市、全国绿化模范城市、全国生态建设突出贡献单位等称号，是首批国家海绵城市试点中唯一的县级市、首批国家智慧城市试点单位。 [4]  2019年10月，入选2019年度全国投资潜力百强县市、2019年度全国新型城镇化质量百强县市。 [5-6]  2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。 [7]  2020年12月，社科院发布《全国县域经济综合竞争力100强》，迁安排名第23 [8]  。

(1) 必须证明，T不含过多的状态，也就是说，如果t是在T中的N的状态，那么t是从N的起始状态沿着标记为a1a2…akak+1的路径可以到达的。

(2) 必须证明，T包含足够的状态，也就是说，如果t是从N的起始状态沿着标记为a1a2…akak+1的路径可以到达的状态，那么t就在T中。

对(1)来说，设t 在T 中。那么，如图10-23所示，在S 中一定存在一个状态s，可以证实t 在T 中。也就是说，在N 中存在从s 到t 的转换，而且它的标号包含ak+1。根据归纳假设，因为s 在S 中，所以肯定存在从N 的起始状态到s 的标记为a1a2…ak 的路径。因此，存在从N 的起始状态到t，标记为a1a2…akak+1的路径。

图 10-23　S 中的状态s 解释了为何将状态t 放进T 中

现在必须证实(2)，也就是如果存在从N 的起始状态到t 的，标记为a1a2…akak+1的路径，那么t 就在T 中。就在这条路径针对输入ak+1进行到t 的转换之前，肯定会经过某个状态s。因此，存在从N 的起始状态开始到s，标记为a1a2…ak 的路径。根据归纳假设，s 在状态集S 中。因为N 具有从s 到t 而且标号含有ak+1的转换，所以应用到状态集S 和输入符号ak+1上的子集构造需要t 被放置到T 中。因此t 在T 中。

在给定归纳假设的情况下，现在就证明了，T 刚好是由N 中从N 的起始状态开始沿着标记为a1a2…akak+1的路径可达的状态组成的。这就是归纳步骤，因此可以得出，沿着标记为a1a2…ak 的路径到达的确定状态机D 的状态，永远都是N 沿着标号相同的路径可达的状态组成的集合。因为D 的接受状态是那些包含N 的某个接受状态的状态集，所以可以得到D 和N 接受相同字符串的结论，也就是说D 和N 是等价的，所以子集构造是“行得通的”。

10.4.4　习题

1. 利用子集构造，把10.3节习题3中的非确定自动机转换成确定自动机。

2. 图10-24a到图10-24d中的非确定自动机可以识别什么模式？

3. 把图10-24a到图10-24d中的非确定自动机转换成确定有限自动机。

自动机的最小化

与自动机相关，特别是在利用自动机设计电路时会遇到的一个问题就是，执行某给定任务需要多少状态。也就是说，我们可能要问，给定某自动机，是否存在状态更少的等价自动机?如果这样的话，那么这样的等价自动机中最小的状态数量是多少？

事实证明，如果将问题限制在确定自动机的范畴，那么与任意给定自动机等价的最小状态确定自动机是唯一的，而且很容易找到它。关键就在于定义确定状态机两个状态s 和t 什么时候是等价的，也就是说，对任意的输入序列，分别从s 和t 出发而且由该序列标记的路径，要么都能到达接受状态，要么都不能到达。如果状态s 和t 是等价的，就没法通过为自动机提供输入来区分这两者，因此就可以把s 和t 合并为一个状态。事实上，按照如下方式定义不等价的状态要更容易。

依据。如果s 是接受状态而t 是不接受，那么s 和t 是不等价的，反之亦然。

归纳。如果存在某输入符号x，使得针对输入x 存在从状态s 和t 分别到两个已知状态的转换不等价，那么s 和t 就是不等价的。

要让这个测试起效，还需要补充一些细节。特别要提的是，我们可能必须添加一个“停滞状态”，它不接受任何输入，而且针对所有输入都存在到它自身的转换。由于确定自动机可能针对某个给定符号不存在从某给定状态出发的转换，因此在执行这一最小化程序之前，需要针对所有不存在其他转换的输入，添加从任意状态到该停滞状态的转换。可以注意到，不存在类似的用于最小化非确定自动机的理论。

4. * 某些自动机具有一些根本不存在转换的“状态-输入”组合。如果状态s 不存在针对符号x 的转换，我们就可以添加一种针对符号x 的、从s 到某个特殊的“停滞状态”的转换。停滞状态是不接受状态，而且针对任意输入符号都有到其自身的转换。证明，添加了“停滞状态”的自动机与原有的自动机是等价的。

5. 证明，如果为确定自动机添加了停滞状态，就可以得到具有从起始状态出发而且标记为每个可能字符串的路径的等价自动机。

6. * 证明，如果对确定自动机进行子集构造，那么要么得到相同的自动机，其中每个状态s 都重命名为{s }，要么添加了停滞状态（对应空状态集）。

7. ** 假设有某确定自动机，并要把每个接受状态变成不接受状态，还要把每个不接受状态变成接受状态。

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