正定网站建设【正定网络公司】正定做网站、正定微信公众号开发、正定网站设计、正定小程序制作

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正定县，河北省石家庄市辖县，位于太行山东麓的山前倾斜平原、山前冲积扇的中上部，因“真正安定”之意得名 [1-2]  ；正定县位于东经114°23′~114°43′，北纬38°6′~38°22′，总面积486平方千米，气候型为温带季风气候，四季分明，多年平均气温13.1℃，多年平均降水量550毫米 [3]  ；截至2020年10月，正定县下辖2个街道、3个镇和5个乡，境内设有中国（河北）自由贸易试验区正定片区和正定新区；截至2019年末，正定县常住人口为51.7万人 [1]  。

正定县前身为真定县，有1600多年的建城史，最初为鲜虞国都城，后为中山国都城，建县始于秦始皇统一中国后设立的东垣县，“真定”一名始于汉高祖十一年（前196年）改东垣县为真定县，最终于清雍正元年（1723年）改为现名 [2]  。正定县是京津冀城市群、石家庄都市圈的重要城镇，境内建有石家庄正定国际机场，有京广高速铁路过境 [4]  。正定县有“九楼四塔八大寺，二十四座金牌坊”，有“古建艺术宝库”美称 [1]  。

2020年上半年，正定县财政收入为35.7亿元，同比增长5.8%；一般公共预算收入为26.9亿元，同比增长10.1%；固定资产投资为116.2亿元，同比增长11%；服务业增加值为100.3亿元，同比增长11%；规模以上高新技术产业增加值达5.9亿元，同比增长18%；社会消费品零售总额达40.8亿元，同比增长10%；外贸进出口总额达91亿元，同比增长366%；城乡居民人均可支配收入分别为18146元和10260元，同比增长8.2%和8.7% [5]  。

现在可以看到，在运行dfsForest期间，刚好要为每个u 值调用dfs(u)一次。因此，花在所有这些调用上的总时间是花在每次调用上的时间之和的大O，也就是。但是就是图中弧的数量，也就是最多为m，8因为每条弧都是都某一个节点发出的。节点数为n，所以就是n。由于n≤m，因此所有对dfs的调用花的总时间就是O(m)。

8其实，mu 的和刚好是m，除非节点数大于弧数。回想一下，m 是节点数与弧数间的较大者。

最后，必须考虑dfsForest花的时间。图9-31所示的该程序由各要迭代n次的两个循环组成。不难看出，除去对dfs的调用，循环体所花的时间是O(1)，因此这些循环的开销都是O(n)。这一时间会被对dfs的调用所花的O(m)时间主导。因为我们已经弄清了dfs调用所花的时间，所以可以得到dfsForest，再加上其所有对dfs的调用，要花O(m)的时间。

9.6.5　有向图的后序遍历

一旦有了深度优先搜索树，就可以按后序为其节点编号。不过，还有一种在搜索期间进行编号的简单方法。只要把为节点u 加上编号当作dfs(u)完成前我们要做的最后一件事即可。然后，在节点的所有子节点被编号后，它自己就会被编上号，正好是按照后序编号的。

示例 9.21

图9-29所示的树，也就是我们对图9-26中的图进行深度优先搜索所建立的树，有着后序编号的节点标号。如果查看图9-28的过程，就会发现最先要返回的调用是dfs(c)，而且节点c 会被编为1号。然后我们会访问d，接着是e，并从对e 的调用返回。因此，e 的编号是2。同样，我们会访问f 并从其返回，它会被编为3号。至此，已经完成了对d 的调用，它会得到4这个编号。这样就完成了对dfs(b)的调用，因此b 的编号就是5。最后，最开始对a 的调用返回，给了a 编号6。请注意，这一次序刚好就是我们以后序遍历该树会得到的。

我们可以对目前所编写的深度优先算法进行一些简单改动，从而为节点指定后序编号，这些改动如图9-33所总结。

      int k; /* 为已访问过的节点计数 */

      void dfs(NODE u, GRAPH G)
      {
          LIST p; /* 指向u的邻接表的单元 */
          NODE v; /* 由p指向的单元中存放的节点 */
 (1)      G[u].mark = VISITED;
 (2)      p = G[u].successors;
 (3)      while (p != NULL) {
 (4)          v = p->nodeName;
 (5)          if (G[v].mark == UNVISITED)
 (6)              dfs(v, G);
 (7)          p = p->next;
          }
 (8)      ++k;
 (9)      G[u].postorder = k;
      }

      void dfsForest(GRAPH G)
      {
          NODE u;(10)     k = 0;(11)      for (u = 0; u < MAX; u++)(12)          G[u].mark = UNVISITED;(13)      for (u = 0; u < MAX; u++)(14)          if (G[u].mark == UNVISITED)(15)              dfs(u, G);
      }复制代码

图 9-33　以后序为有向图的节点编号的例程

1. 在GRAPH类型中，需要为每个节点增加一个名为postorder的字段。对图G 而言，我们要将节点u 的后序编号放在G[u].postorder中。这一赋值是在图9-33的第(9)行完成的。

2. 我们使用全局变量k按后序为节点计数。这一变量是在dfs和dfsForest的外部定义的。正如在图9-33中所见，我们在dfsForest的第(10)行将k 初始化为0，并刚好在赋值后序编号之前，在dfs中的第(8)行将k 递增1。

请注意，这样一来，当深度优先搜索森林中不止有一棵树时，第一棵树就会得到最低的编号，而紧接着的那棵树就会按顺序得到接下来的编号，以此类推。例如，在图9-32中，a 会得到后序编号6。

9.6.6　后序编号的特殊属性

横向弧不能从左向右说明了与后序编号和图的深度优先表示中4种弧相关的一些有趣而实用的信息。在图9-34a中，我们看到图的深度优先表示中有u、v 和w 3个节点。节点v 和w 是u 的子孙，而且w 在v 的右侧。图9-34b展示了分别为这3个节点调用dfs各自的活动持续时间。

图 9-34　树中位置间的关系和调用的持续时间

我们可以得出一些观点。首先，对子孙节点（比如v）进行的对dfs的调用，只在对祖先节点（比如u）的调用期间的某个子时间区间内是活动的。特别要指出的是，对dfs(v)的调用会在对dfs(u)的调用之前终止。因此，只要v 是u 的真子孙，v 的后序编号肯定要比u 的后序编号小。

其次，如果w 在v 的右侧，那么对dfs(w)的调用必须等到对dfs(v)的调用终止后才会开始。因此，只要v 在w 的左侧，v 的后序编号就要比w 的后序编号小。虽然图9-34中没有表示出来，但即便v 和w 在深度优先搜索森林的不同树中，只要v 所在的树在w 所在的树的左侧，同样的结论也是成立的。

我们现在可以为每条弧u→v 考虑u 和v 后序编号之间的关系了。

1. 如果u→v 是树向弧或前向弧，那么v 是u 的子孙，所以v 按后序要先于u。

2. 如果u→v 是横向弧，那么我们知道v 在u 的左侧，因此按后序v 还是先于u。

3. 如果u→v 是后向弧而且u≠v，那么v 是u 的真祖先，因此按后序v 在u 之后。不过，对后向弧而言v=u 是有可能的，因为自环也是后向弧。因此，一般来说，对后向弧u→v 而言，我们知道v 的后序编号是不会小于u 的后序编号的。

总之，我们看到，弧头部按后序是要先于尾部的，除非该弧是后向弧，在弧是后向弧的情况中，尾部按后序是不会在头部之后的。因此，只要找到那些尾部按后序不大于头部的弧，就可以认定它们是后向弧。我们在9.7节中将看到这一概念的若干应用。

9.6.7　习题

1. 为图9-5中的树（见9.2节的习题）给出两棵从节点a 出发的深度优先搜索树。给出从节点d 出现的深度优先搜索树。

2. * 不管从图9-5中的哪个节点开始，我们最后都只得到深度优先搜索森林中的一棵树。简要解释对这幅特定的图为什么一定是这种情况。

3. 对9.6节习题1中的各棵树，指出哪些弧是树向弧、前向弧、后向弧和横向弧。

4. 对9.6节习题1中的各棵树，给出节点的后序编号。

5. * 考虑含a、b、c 这3个节点以及a→b 和b→c 这两条弧的图。为这幅图给出所有可能的深度优先搜索森林，为每棵树考虑所有可能的起始节点。每个森林的节点后序编号各是怎样的？

6. * 考虑把习题5的图一般化为具有a1、a2、…、an 这n 个节点和a1→a2、a2→a3、…、an-1→an 这些弧。通过对n 的完全归纳证明，该图具有2n-1种不同的深度优先搜索森林。提示：记住对i ≥0有1+1+2+4+8+…+2i=2i+1是能帮上忙的。

7. * 假设从图G 开始，并为G 添加一个新节点x，它是原来的图G 中所有节点的前导。如果从节点x 开始对新图运行图9-31中的dfsForest，就只得到一棵树。如果接着将x 从该树中删除，就可以得到若干棵树。这些树与原图G 的深度优先搜索森林之间有什么联系？

8. ** 假设有一幅有向图G，我们已经通过图9-31所示的算法从这幅有向图的表示构建了深度优先生成森林F。现在将弧u→v 添加到图G 中形成新图H，除了节点v 出现在节点u 相应邻接表中的某个位置，图H 的表示与图G 的表示如出一辙。如果现在对H 的这种表示运行图9-31所示的算法，在什么条件下会构建出相同的深度优先森林F？也就是说，H 的树向弧什么时候会刚好与G 的树向弧相同？

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