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河北省张家口市张北县地处河北省西北部，内蒙古高原南缘的坝上地区，境域东西109公里，南北67公里，东南部与崇礼区交界，桦皮岭为全县最高点，海拔2128米；北、中部地势平坦，向西北渐低，安固里淖为最低点，海拔1300米。全县总面积4185平方公里，辖18个乡镇、366个行政村、1167个自然村，总人口37.2万人。居民以汉族为主，占总人口的98%，还有蒙古族、回族、满族等。张北县是离京津地区最近的高原地区，夏天气候凉爽是避暑胜地。

张北县被列为第一批国家新型城镇化综合试点地区。 [1]  2019年11月，入选第二批节水型社会建设达标县（区）名单。 [2]  2020年2月29日，退出贫困县序列，正式脱贫“摘帽”。 [3]  2020年12月，入选河北省数字乡村试点地区名单。

6.4.9　习题

1. 为(a)图6-4中delete函数，(b)图6-5中insert函数的运行时间建立递推关系。它们的解各是多少？

2. 为使用带重复链表的词典操作插入、查找和删除编写C语言函数。

3. 为如图6-6那样使用已排序表的插入和删除操作编写C语言函数。

4. 编写C语言函数，使其能在双向链表中由p 指向的单元之后的新单元中插入元素x。图6-9是用于删除的相似函数，不过对插入操作来说，我们不需要知道表头L。

5. 如果使用双向链表数据结构，一种选择是不通过指向单元的指针表示表，而通过具有未使用element字段的单元来表示。请注意，这一“表头”单元本身并非表的一部分。该“表头”的next字段指向该表真正的第一个单元，而这第一个单元的previous字段则指向该“表头”单元。然后可以在不知道表头L（正是我们在图6-9中需要知道的）的情况下删除由指针p指向的单元，而不是那个未使用element字段的“表头”。编写C语言函数，使其利用这里描述的格式从双向链表中删除元素。

6. 编写递归函数，实现使用链表数据结构的(a)retrieve (i ,L )；(b)length (L )；(c)last (L )。

7. 扩展下列函数，使其单元可以接受任意类型ETYPE的元素，使用函数eq (x,y )测试x 和y 是否相等，并用lt (x,y )分辨x 是否在ETYPE类型元素的次序下先于y。

(a) 图6-3中的lookup 。

(b) 图6-4中的delete 。

(c) 图6-5中的insert 。

(d) 使用带重复表的insert、delete 和lookup 。

(e) 使用已排序表的insert、delete 和lookup 。

6.5　表基于数组的实现

实现表的另一种常见方式是创建由下列两部分组成的结构体。

1. 存放元素的数组；

2. 记录表中当前元素数量的变量length。

图6-10展示了如何使用数组A[0..MAX-1]表示表(a0,a1,…,an-1)。元素a0、a1、…、an-1存储在A[0..n-1]中，而且length=n。

图 6-10　存放表(a0,a1,…,an-1)的数组A

就像在6.4节中那样，我们假设表中元素都是整数，并邀请读者将这些函数一般化为支持任意类型。表基于数组的实现所使用结构体的声明如下

typedef struct {
    int A[MAX];
    int length;} LIST;复制代码

这里的LIST是包含两个字段的结构体，第一个字段是存储元素的数组A，而第二个则是含有表中当前元素数目的整数变量length。MAX是个用户定义的常量，用于为存储在表中的元素的数目确定边界。

与表的链表表示相比，基于数组的表示从多个方面讲都更方便。不过，它会受到表不能长过数组的限制，这可能导致插入操作失败。在链表表示中，只要有可用的计算机内存，就可以让表增长到尽可能长。

对基于数组的表执行词典操作，所花的时间与对链表表示的表执行这些操作所花的时间基本相同。要插入x，先查找x。如果没找到x，就要检查是否有length< MAX。如果length 不小于MAX，就有出错的情况，因为没法将新元素装入数组中。否则，我们将x 存储在A[length]中，并将length 增加1。要删除x，还是先查找x，如果找到，就将数组A中x 之后的元素都下移一个位置，然后将length 减1。插入和删除的具体函数实现留作本节习题。接下来要介绍查找操作的细节。

6.5.1　线性查找

图6-11是实现查找操作的函数。因为数组A可能很大，所以选择传递指向LIST类型结构体的指针pL作为lookup 的形式参数。在该函数中，结构体的两个字段可以称为pL->A[i]和pL->length。

从i=0开始，第(1)至第(3)行的for循环会依次检查数组的每个位置，直到它到达最后出现的位置，或是找到x。如果找到x，就返回TRUE。如果它检查了表中的每个元素而没有找到x，就会在第(4)行返回FALSE。这种查找方法叫作线性查找或顺序查找。

     BOOLEAN lookup(int x, LIST *pL)
     {
         int i;(1)      for (i = 0; i < pL->length; i++)(2)          if (x == pL->A[i])(3)              return TRUE;(4)      return FALSE;
     }复制代码

图 6-11　通过线性查找进行查找操作函数

不难理解，如果x 在表中，那么在找到x 之前，平均要查找数组A[0..length-1]的一半。因此，设n 为length的值，那么执行一次查找要花O(n)的时间。如果x 未出现，就要查找完整个数组A[0..length-1]，再次需要O(n)的时间。这样的表现，与对用链表表示的表执行查找操作的表现是一样的。

常数因子在实际应用中的重要性

纵观第3章，我们一直在强调运行时间的大O度量的重要性，而且可能给大家留下了这样的印象：大O是唯一的影响因素，或是说任何O(n)算法在执行某项任务时都和其他O(n)算法有着同样的表现。不过在这里，在对哨兵的讨论中，以及其他几节中，我们都会细究隐藏在O(n)之中的常数因子。原因很简单。尽管运行时间的大O度量主导了常数因子，但研究该主题的人都能很快地了解这一点。例如，我们了解到只要n 大到足以产生影响，就要使用具有O(n logn)运行时间的排序。软件性能上的竞争优势，往往源于对具有正确“大O”运行时间的算法中的常数因子的改进，而这种优势通常能决定软件产品的成败。

6.5.2　带哨兵的查找

通过将x 临时插入表的末尾，可以简化图6-11中for循环的代码，并为该程序提速。在表末端的这个x 就叫作哨兵（sentinel）。这项技术最先是在3.6节附注栏内容“更具防御性的程序设计”中提到的，而它在这里有着重要的应用。假设在表的末端始终有一个额外的槽，就可以使用图6-12中的程序查找x。该程序的运行时间仍为O(n)，但比例常数更小，因为图6-12所示程序的循环体和循环测试所需的机器指令数，通常小于图6-11所示程序所需的。

     BOOLEAN lookup(int x, LIST *pL)
     {
         int i;(1)      pL->A[pL->length] = x;(2)      i = 0;(3)      while (x != pL->A[i])(4)          i++;(5)      return (i < pL->length);
     }复制代码

图 6-12　进行带哨兵查找的函数

第(1)行将哨兵放置在刚好越过该表的位置。请注意，因为length不会发生改变，所以这个x 并非真正是表的一部分。第(3)和第(4)行的循环会增加 i，直到我们找到x。请注意，因为设置了哨兵，所以即便表是空表，还是保证能找到x。在找到x 之后，第(5)行会测试是找到了表中真正出现的x（也就是，i < length），还是找到了哨兵（也就是，i < length）。请注意，如果使用哨兵，就一定要严格保证length 小于MAX，否则就没有位置放置哨兵了。

6.5.3　利用二叉查找对已排序表进行查找

假设表L中的元素a0、a1、…、an-1已经按照非递减次序排好序。如果该已排序表存储在数组A[0..n-1]中，就可以利用二叉查找技术，从而带来可观的速度提升。我们首先必须找到中间元素的下标m，也就是说m=[(n-1)/2]。4然后将元素x与A[m ]相比较。如果它们相等，就已经找到x 了。如果x< A[m ]，就递归地重复对子表A[0..m-1]的查找。如果x>A[m ]，就递归地重复对子表A[m+1..n-1]的查找。无论何时尝试查找空表，都会报错。图6-13展示了分区过程。

4⌊a⌋表示a 向下取整，就是a 的整数部分。因此⌊6.5⌋=6，而且⌊6⌋=6。而⌈a⌉表示a 向上取整，是大于等于a 的最小整数。例如⌈6.5⌉=7，而⌈6⌉=6。

函数binsearch的代码要将x 放置在如图6-14所示的已排序数组A 中。该函数使用变量low和high表示x 可能出现的区域的下界和上界。如果较低的区域超过了较上的区域，那么就没找到x，此时函数就会终止并返回FALSE。

否则，binsearch会通过mid=⌊(low+high)/2⌋计算该区域的中点。然后该函数会检查区域正中的元素A[mid ]，以确定x 是否在该位置。如果x 不在该位置，而且小于A[mid ]，就继续在中点下方的区域查找，要是x 大于A[mid ]，就继续在中点上方的区域查找。这一思路概括了图6-13所示的划分，其中low 是0，而high 是n-1。

图 6-13　二叉查找将区域一分为二

利用归纳断言“如果x 在数组中，那么它一定出现在A[low..high]这个区域内”，就可以证明函数binsearch的正确性。证明过程要对high-low 的差进行归纳，这留作本节的习题。在每次迭代中，binsearch 要么

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