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馆陶县，河北省邯郸市下辖县 [1]  ，地处河北省东南部，以卫运河为界与山东省冠县、临清市毗邻。全县辖4镇4乡277个行政村，总面积456平方公里，其中耕地面积48万亩，总人口36万人。馆陶是千年古县，赵王“在城（今冠县东古城）西北七里陶丘侧置馆，故名馆陶”，自西汉初置县，已有2200多年历史。

馆陶县先后荣获中国蛋鸡之乡、中国黑陶艺术之乡 、中国粮画之乡、中国轻工轴承之乡、中国黄瓜之乡、中国漆画艺术之乡、全国休闲农业和乡村旅游示范县、全国电子商务进农村示范县、全国义务教育发展基本均衡县、全国中医工作先进县、全国群众体育工作先进县等等30余项国家级殊荣。

近年来，馆陶县着力打造了五张名片。一是“最大”，禽蛋交易市场金凤市场，单体全国最大，鸡蛋远销广东、广西等地，2016年交易额达到110亿元；二是“最优”，馆陶是中国著名的黑陶艺术之乡，现代黑陶艺术经过馆陶人的继承和创新，达1000多个品种；三是“最好”，馆陶是中国唯一的黄瓜之乡，馆青牌黄瓜，连续四年荣获中国绿色博览会金奖；四是“最佳”，馆陶有独一无二的富含三价有机铬的黑小麦，可应用于抑制血糖和抗肿瘤等医学领域；五是“最美”，粮画小镇被评为“中国十大最美乡村”，即将由3A级景区升级成为国家4A级旅游景区。 [2-6] 

2020年4月，被河北省体育局评选为“2019年度体育工作最佳县（市、区）”。

指向Grumpy左子节点的指针为NULL，所以在第(1)行必须创建一个新节点。这棵单节点树会返回给Grumpy节点处对insert的调用，而且在第(7)行该树会被安置为Grumpy左子节点的值。带有Grumpy和Filthy的修改过的树会返回给标号为Bashful的节点处对insert的调用。然后，以Bashful为根节点的新树就成了整棵树根节点的左子树。最终的树如图5-36所示。

图 5-36　插入Filthy之后的二叉查找树

5.7.4　二叉查找树元素的删除

从二叉查找树中删除某个元素x 要比查找或插入复杂一些。首先，要找出含有x 的节点；如果没有这样的节点，就算是完事了，因为x 不在这棵要处理的树里头。如果x 在叶子节点处，那么直接删除该叶子节点就行了。不过，如果x 是某个内部节点n，就不能直接删除该节点，因为这样做会破坏树的连通性。

我们必须以某种方式对树进行重新排列，从而在维持二叉查找树属性的同时让x 从树中消失。这会有两种情况。第一种，如果n 只有一个子节点，就用该子节点代替n，这样二叉查找树的属性就得到了保持。

第二种情况，假设n 的两个子节点都存在。一种策略就是找到标号为y 的节点m，它是n 右子树中最小的元素，并在节点n 处用y 代替x，如图5-37所示。然后就可以从右子树中删除节点m。

图 5-37　要删除x，先删除包含右子树中最小元素y 的节点，然后将节点n处的标号由x 替换为y

此时二叉查找树属性继续成立。原因在于，x 比n 的左子树中的所有元素都大，而y 大于x（因为y 在n 的右子树中），所以y 也比n 左子树的所有元素都大。因此，就n 的左子树而言，y 是适合于位置n 的元素。而对n 的右子树来说，y 也是适合作为根节点的，因为选出的y 是右子树中的最小元素。

     ETYPE deletemin(TREE *pT)
     {
         ETYPE min;(1)      if ((*pT)->leftChild == NULL) {(2)          min = (*pT)->element;(3)          (*pT) = (*pT)->rightChild;(4)          return min;
         }
         else(5)          return deletemin(&((*pT)->leftChild));
     }复制代码

图 5-38　deletemin(pT)函数会删除并返回T 的最小元素

如图5-38所示，可以很方便地定义deletemin(pT)函数从非空二叉查找树中删除含最小元素的节点，并返回最小元素的值。我们给该函数传入的参数是指向树T 的指针的地址。该函数中所有对T 的引用都是通过该指针间接完成的。

我们给函数传入的参数，是指向某个位置的指针，而在这个位置可以找到指向节点（即树）的指针，这种风格的树操作叫作按引用调用。这在图5-38中是很关键的，因为第(3)行的指针指向左子节点为NULL的节点m，我们希望将这一指针替代为另一个指针，节点m 的rightChild字段中的指针。如果deletemin的参数是指向节点的指针，那么这种改变就会在对deletemin的调用中发生，而且树中的指针其实不会改变。顺便说一下，也可以使用按引用调用来实现插入操作。在那种情况下，可以直接对树进行修改，而不必像图5-35中所做的那样返回修改过的树。这里将这一修订过的insert函数留作本节习题。

现在来看看图5-38的工作原理。沿着左子节点向下寻找，直到在图5-38的第(1)行找到左子节点为NULL的节点，就找到了最小的元素。在该节点m 处的元素y 一定是该子树中最小的元素。原因在于，这里完全是循着左子节点向下寻找的，这样一来y 要比m 在该子树中的任一祖先都小。而子树中其他节点要么是在m 的右子树中，根据二叉查找树属性这些元素肯定大于y，要么是在m 的某个祖先的右子树中。右子树中的元素肯定比m 的某个祖先处的元素大，因此也就大于y，如图5-39所示。

图 5-39　右子树中所有其他元素都大于y

在子树中找到最小的元素后，在第(2)行会记录下它的值，并在第(3)行用它的右子树代替最小元素所在节点。请注意，在从子树中删除最小元素时，总是有着最简单的删除情况，因为不存在左子树。

还有一点与deletemin相关的内容就是，当第(1)行的测试失败时，就意味着还没到达最小元素，就要继续处理左子节点。这一步骤是通过第(5)行的递归调用完成的。

deletemin(x,pT)函数如图5-40所示。如果pT指向空树T，就没什么要做的，而且第(1)行的测试会确保什么事都没做。此外，第(2)行和第(4)行的测试会处理x 不在根节点的情况，会根据具体情况重定向到左子树或右子树。如果到达第(6)行，那么x 就一定在T 的根节点位置，而且我们必须替换该根节点。第(6)行会测试左子节点是否可能为NULL，若为NULL，那么就可以在第(7)行直接将T 替换为其右子树。同样地，如果在第(8)行发现右子节点为NULL，那么就用T 的左子树来替代T。请注意，如果根节点的两个子节点都为NULL，那么就在第(7)行将T 替换为NULL。

      void delete(ETYPE x, TREE *pT)
      {
 (1)      if ((*pT) != NULL)
 (2)          if (x < (*pT)->element)
 (3)              delete(x, &((*pT)->leftChild));
 (4)          else if (x > (*pT)->element)
 (5)              delete(x, &((*pT)->rightChild));
              else /* 这里，x 在(*pT)的根节点处 */
 (6)              if ((*pT)->leftChild == NULL)
 (7)                  (*pT) = (*pT)->rightChild;
 (8)              else if ((*pT)->rightChild == NULL)
 (9)                  (*pT) = (*pT)->leftChild;
                  else /* 这里的两个子节点都不为NULL */(10)                  (*pT)->element =
                              deletemin(&((*pT)->rightChild));
      }复制代码

图 5-40　delete(x,pT)函数从T 中删除元素x

两个子节点均不为NULL的情况是在第(10)行处理的。在这里会调用deletemin，返回右子树的最小元素y，并从该子树中删除y 。第(10)行的赋值操作会在T 的根节点处用y 代替x 。

示例 5.25

如果使用类似delete（但能够比较字符串）的函数从图5-36中的二叉查找树删除Hairy，结果如图5-41所示。因为Hairy在具有两个子节点的节点中，所以delete会调用deletemin函数，从根节点的右子树中删除并返回最小的元素Happy，然后Happy就成了曾存放Hairy的该树根节点的标号。

图 5-41　删除Hairy后的二叉查找树

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