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馆陶县，河北省邯郸市下辖县 [1]  ，地处河北省东南部，以卫运河为界与山东省冠县、临清市毗邻。全县辖4镇4乡277个行政村，总面积456平方公里，其中耕地面积48万亩，总人口36万人。馆陶是千年古县，赵王“在城（今冠县东古城）西北七里陶丘侧置馆，故名馆陶”，自西汉初置县，已有2200多年历史。

馆陶县先后荣获中国蛋鸡之乡、中国黑陶艺术之乡 、中国粮画之乡、中国轻工轴承之乡、中国黄瓜之乡、中国漆画艺术之乡、全国休闲农业和乡村旅游示范县、全国电子商务进农村示范县、全国义务教育发展基本均衡县、全国中医工作先进县、全国群众体育工作先进县等等30余项国家级殊荣。

近年来，馆陶县着力打造了五张名片。一是“最大”，禽蛋交易市场金凤市场，单体全国最大，鸡蛋远销广东、广西等地，2016年交易额达到110亿元；二是“最优”，馆陶是中国著名的黑陶艺术之乡，现代黑陶艺术经过馆陶人的继承和创新，达1000多个品种；三是“最好”，馆陶是中国唯一的黄瓜之乡，馆青牌黄瓜，连续四年荣获中国绿色博览会金奖；四是“最佳”，馆陶有独一无二的富含三价有机铬的黑小麦，可应用于抑制血糖和抗肿瘤等医学领域；五是“最美”，粮画小镇被评为“中国十大最美乡村”，即将由3A级景区升级成为国家4A级旅游景区。 [2-6] 

2020年4月，被河北省体育局评选为“2019年度体育工作最佳县（市、区）”。

二叉树可以表示为指向其根节点的指针。空二叉树很自然地就被表示为NULL。因此，如下类型定义就表示二叉树。

typedef struct NODE *TREE;struct NODE {
    TREE leftChild, rightChild;};复制代码

在这里，“指向节点的指针”类型名为TREE，因为这一类型最常见的用途就是表示树和子树。我们既可以将leftChild和rightChild字段解释为指向子节点的指针，也可以将其解释为指向左右子树本身的指针。

此外，还可以为表示NODE的结构体添加标号字段，并（或）可以添加指向父节点的指针。请注意，父指针的类型是*NODE，或是TREE的等价类型。

5.6.3　对二叉树的递归

有很多针对二叉树的自然算法可以通过递归的方式来定义。这里递归的模式要比图5-13中普通树的递归模式更具局限性，因为操作只能发生在左子树被探索之前、两棵子树的探索之间，或是两棵子树都探索完之后。对二叉树进行递归的模式如图5-30所示。

{
    action A0;
    对左子树的递归调用;
    action A1;
    对右子树的递归调用;
    action A2;}复制代码

图 5-30　二叉树递归算法的模板

示例 5.21

具有二元运算符的表达式树可以用二叉树表示。这些二叉树是很特殊的，因为节点要么有两个子节点，要么就没有子节点（一般而言，二叉树可以有只有一个子节点的节点）。例如，图5-31重现了图5-14中的表达式树，这棵表达式树可以视作二叉树。

图 5-31　由二叉树表示的表达式a+(b-c )*d

假设为节点和树定义如下类型：

typedef struct NODE *TREE;struct NODE {
    char nodeLabel;
    TREE leftChild, rightChild;};复制代码

那么图5-32就展示了用来以前序列出二叉树T 中各节点标号的递归函数。

     void preorder(TREE t)
     {(1)      if (t != NULL) {(2)          printf("%c\n", t->nodeLabel);(3)          preorder(t->leftChild);(4)          preorder(t->rightChild);
         }
     }复制代码

图 5-32　二叉树的前序排列

该函数的行为与图5-15中用于处理普通树的同名函数相似。主要区别在于，当图5-32中的函数遇到叶子节点时，它会对（缺失的）左右子节点调用自身。这些调用会立即返回，因为当t为NULL时，整个函数体只有第(1)行的测试会执行。如果将图5-32中的第(3)行和第(4)行替换为：

(3)  if (t->leftChild != NULL) preorder(t->leftChild);(4)  if (t->rightChild != NULL) preorder(t->rightChild);复制代码

就可以多节省一些调用。不过，这样就不能防止其他函数以NULL为参数调用preorder了。因此，为了安全起见，要保留第(1)行的测试。

5.6.4　习题

1. 编写函数，使其能打印出二叉树节点（标号）的中序排列。假设这些节点是用如本节所描述那样具有左子节点和右子节点指针的记录表示的。

2. 编写函数，使其接受二叉表达式树，并打印出它所表示的表达式带有全部括号的版本。假设这里使用了与习题1相同的数据结构。

3. * 重复习题2，但只打印所需的括号，假设这里使用的是常用的算术运算符优先级和结合性。

4. 编写函数，使其能得出二叉树的高度。

5. 如果二叉树的节点同时具有左子节点和右子节点，那么就说该节点是完全的。用结构归纳法证明：二叉树中完全节点的数量，要比叶子节点的数量少1。

6. 假设用左子节点右子节点记录类型表示二叉树。用结构归纳法证明：NULL指针的数量要比节点的数量大1。

7. ** 树可以用来表示递归调用。每个节点都表示某个函数F的一次递归调用，而其子节点则表示F执行的调用。在本题中，要考虑对4.5节给出的进行递归，根据的递归关系是。每次调用都可以用一棵二叉树表示。如果某个节点对应着的计算，而且不属于依据情况（m=0和m=n），那么其左子节点就表示，而右子节点表示。如果该节点表示的是依据情况，那么它就既没有左子节点，也没有右子节点。

(a) 通过结构归纳法证明：根节点对应着的二叉树刚好有个节点。

(b) 利用(a)证明：对应递归算法的运行事件是。请注意，该运行时间因此也就是O(2n)，不过后者是平滑但非紧边界。

中序遍历

除了二叉树的前序排列和后序排列外，二叉树就只有一种有意义的节点排列方式了。在二叉树中，探索完左子树之后，而在探索右子树之前（即图5-30中操作T1的位置）列出每个节点，这样就形成了二叉树节点的中序排列。例如，在图5-31所示的树中，中序排列就是a+b-c *d。

对表示表达式的二叉树进行前序遍历，得到的就是该表达式的前缀形式，对同样的树进行后序遍历，则会得到表达式的后缀形式。而中序遍历则几乎会产生原始的，或者说是中缀形式的表达式，不过该表达式是没有括号的。也就是说，图5-31中的树表示的表达式a+(b-c ) *d 与其中序排列a+b-c *d 是不同的，差别只是后者中少了必要的括号而已。

要确保所需的括号出现，可以为所有的运算符加上括号。在这种修改后的中序遍历中，在探索左子树之前执行的操作A0，会检查节点的标号是否为运算符，而且，如果是运算符的话，就会打印“(”，也就是左括号。同样地，如果标号是运算符，探索完两棵子树后执行的操作A2就会打印右括号“)”。将该规则应用于图5-31所示的二叉树，得到的结果会是(a+((b-c)*d))，这就有了b-c 两侧一对必要的括号，以及两对多余的括号。

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