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张家口市，又称“张垣”“武城”，是河北省下辖地级市，地处河北省西北部，京、冀、晋、蒙四省市交界处，是京津冀（环渤海）经济圈和冀晋蒙（外长城）经济圈的交汇点。是冀西北地区的中心城市，连接京津、沟通晋蒙的交通枢纽。 [1]  介于东经113°50′～116°30′，北纬39°30′～42°10′之间。全市南北长289.2千米，东西宽216.2千米，总面积3.68万平方千米。 [2]  截至2019年，张家口市常住人口442.33万人，下辖6区10县。

嘉靖八年（1529年）守备张珍在北城墙开一小门，曰“小北门”，因门小如口，又由张珍开筑，所以称“张家口”。 [3]  春秋战国时北为匈奴与东胡居住地，南部分属燕国、代国。1983年11月，张家口市改为河北省省辖市。 [4]  距今200万年前，远古人类就在此繁衍生息；5000年前，中华民族始祖黄帝、炎帝、蚩尤“邑于涿鹿之阿”，开启了中华文明先河。

张家口市是现行长城最多的地区，素有“长城博物馆”的美称。崇礼、赤城是华北地区最大的天然滑雪场，被誉为东方达沃斯。2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布北京携手河北省张家口获得2022年冬奥会举办权。 [5]  2017年12月，当选“中国十佳冰雪旅游城市”。

2020年，张家口市生产总值实现1600.1亿元，同比增长3.6%。其中，第一产业实现增加值267.7亿元，同比增长3.6%；第二产业实现增加值430.9亿元，同比增长2.2%；第三产业实现增加值901.4亿元，同比增长4.3%。

4.13.3　习题

1. 377、383和391哪个是质数？

2. 假设使用图4-22所示的函数查找元素x，不过在项i 处找到x的概率与n-i 成正比。也就是说，设想一个具有n(n+1)/2个点的概率空间，其中n个点表示x在A[0]的情况，n-1个点表示x在A[1]的情况，以此类推，直到1个点表示x在A[n-1]的情况。该算法在本概率空间中的期望运行时间是多少？

3. 1993年，美国职业篮球联赛（NBA）设立了由未参加季后赛的11支球队构成的选秀乐透区。战绩最差的球队拿到11张彩票，次差的球队拿到10张，以此类推，直到第11差的球队拿到1张彩票。然后随机选出一张彩票，并将第一位选秀权奖励给该彩票的所有者。那么，被选中的彩票t的所有者排名（从底部算起）的函数f(t)的期望值是多少？

4. ** 继续习题3中描述的乐透机制。中签的球队会失去所有彩票，接着会选出代表第二位选秀权的彩票。而此次中签队伍剩下的彩票都会被收回，接着抽出第三位选秀权的彩票。那么得到第二位和第三位选秀权的队伍排名的期望值是多少？

5. * 假设有大小为n 的数组，它可能是有序的，也可能是随机装满整数。我们希望能构建某个蒙特卡洛算法，若它发现该数组是无序时就说“真”，否则就说“我不知道”。通过重复这种测试k 次，我们很想知道失败的概率不超过2-k。给出这样的算法。提示：确保测试是相互独立的。这里举个测试不独立的例子，我们可能测试是否有A[0]<A[1]，并测试A[1]<A[2]。这两项测试是相互独立的。然而，如果接着测试A[0]<A[2]，该测试就不再是独立的了，因为知道前两个关系成立的话就能肯定第三个关系是成立的。

6. ** 假设有大小为n，且存放着从1到n这一范围内整数的数组。这些整数可能在选出时就是不同的，也可能是随机独立选出的，因此数组中可能有相等的项。给出运行时间为的蒙特卡洛算法，而且该算法随机装入的数字各不相同的概率最多只有10-6。

测试整数是否为质数

尽管示例4.45不是个真正的程序，但它仍然展示了一种实用的算法原则，而且其实是衡量产品可靠性的技术的一种真实写照。一些有趣的计算机算法也用到了蒙特卡洛算法的思路。

排在首位的大概是测试某个数字是否为质数的问题。这一问题并非是无聊的数论问题。事实表明，计算机安全的诸多中心思想都涉及知道一个非常大的数为质数。粗略地讲，当使用具有n位数字的质数为信息加密时，如果要在不知道密钥的情况下解密信息，就需要从几乎所有10n种可能中猜测。如果让n足够大，就可以确保“攻破”代码要么需要超乎寻常的运气，要么需要远超可达水平的计算时间。

因此，我们想要有种方式来测试一个非常大的数是否为质数，并希望在远小于该质数的值的时间内完成测试，理想状态下，希望测试所花的时间与数字的位数成比例，即与数字的对数成比例。检测合数（非质数）的问题似乎并不难。例如，除2之外的所有偶数都是合数，所以看起来已经解决一半问题了。同样地，那些能被3整除的数各位数字之和要能被3整除，所以可以编写一个稍慢于与数字位数存在线性关系的递归算法来测试某数能否被3整除。然而，对很多数字而言，这个问题还是很棘手。例如，377、383和391中有一个是质数，是哪一个呢？

有一种测试合数的蒙特卡洛算法。在每次迭代时，它至少有1/2的概率在被测试的数字为合数时说“真”，而且如果该数字为质数，它绝对不说“真”。下面要描述的并非确切的算法，不过除了一小部分合数外，它对大部分合数都起作用。完整的算法已经超出本书要讲的范围了。

该算法的依据是费马小定理，该定理是说，如果p为质数，且a 是介于1和p-1之间的某个整数，那么当ap-1除以p 时，余数为1。6此外，除了小部分“坏”合数之外，如果a是在1到p-1之间的整数中随机选出的，那么ap-1除以p 时余数不是1的概率至少有1/2。例如，假设p=7，那么16、26、…、66分别为1、64、729、4096、15625和46656。它们除以7的余数全是1。不过，如果p=6，是个合数，那么15、25、…、25分别等于1、32、243、1024和3125，它们除以6的余数分别是1、2、3、4、5。只有20%是1。

因此，这种测试某数字p 是否为质数的“算法”要从1到p-1中独立且随机地选出k 个整数。如果对任何选出的a 来说，都有ap-1/p 的余数不是1，就说p为合数，否则说它是质数。如果没遇到“坏”合数，就可以说失败的概率至多为2-k，因为对某个给定的a 而言，合数满足测试的概率至少为1/2。如果让k 为40，那么只有万亿分之一的概率将某个合数当成质数。不过，若是要处理那些“坏”合数，就需要更复杂的测试。该测试仍然是p 的位数的多项式，就像上述简单测试那样。

6费马小定理的确切表述为，若p 为质数，且a 和p 互质，则当ap-1除以p 时，余数恒为1。

4.14　小结

大家应该记住以下与计数相关的公式和范例。

• 将k个值分配给n个对象的方法共有kn 种。范例问题是粉刷n 所房屋，其中每所房屋可从k种颜色中任选其一。

• 排列n个不同的项共有n!种不同方式。

• 从n 项中选出k 项，并为选出的k 项排序，共有n!(n-k)!种不同的方式。范例问题是为有n匹赛马参加的比赛排定冠亚季军（k=3）。

• 从n个对象中选出m个，不考虑顺序，有或者说n!(/m!(n-m)!)种方式。范例问题是扑克牌型问题，其中n=52，m=5。

• 如果想排列其中存在相同项的n个项，可以按照如下方式计算排列方法数。首先有n!。然后，如果某个值在这n项中出现k>1次，就除以k!。对每个出现超过1次的值都进行该除法处理。范例问题是计算n个字母组成的单词的构词方式，其中必须在n!的基础上为单词中每个出现次数k>1的字母除以k!。

• 如果要将n个相同的对象放入m个容器，共有种方式。范例问题是给孩子分苹果。

• 如果要将n个对象放入m个容器，而其中有一些对象是不同的，那么要依照以下方式计算分装方法数。首先有(n+m-1)!/(m-1)!。然后，如果有一组有k个相同对象，而且k>1，就除以k!。对每个出现次数超过1次的值都执行该除法处理。范例问题是将若干种水果分给孩子们。

除此之外，大家还应该记住有关概率的如下要点。

• 概率空间由点组成，其中每个点都是某个实验的结果。每个点x 都与一个被称为x 的概率的非负实数相关联。某个概率空间中各点概率之和是1。

• 事件是概率空间中的点的子集，事件的概率是事件中各点概率之和。任一事件的概率都是在0到1之间的。

• 如果所有点都是等可能的，那么事件E 条件下事件F 的条件概率就是事件E 中也在事件F 中的点所占的比例。

• 如果事件F 条件下事件E 的条件概率与事件E 本身的概率相等，就表示事件E 是独立于事件F 的。如果事件E 是独立于事件F 的，那么事件F 也是独立于事件E 的。

• 求和规则表明，事件E 和F 中有一个发生的概率，至少是两者概率中的较大者，而且不会大于两者概率之和（如果该和大于1，则是不大于1）。

• 乘积规则表明，某项实验的结果既在事件E 中又在事件F 中的概率不大于E 和F 二者概率中的较小者，并至少是两者概率之和减去1（或者如果说该值为负，则是至少为0）。

• 最后，要讲一些本章所介绍的原则在计算机科学领域的应用。

• 对于能处理具有“小于”关系的任意类型数据的排序算法，在为n个项排序时都至少需要与n logn 成正比的时间。

• 长度为n 的位串共有2n个。

• 随机数生成器是生成看似独立实验结果的数字序列的程序，虽然这些数字其实完全是由该程序确定的。

• 概率推理系统需要一种方式表示由若干事件形成的复合事件的概率。求和规则和乘积法则有时能帮上忙。我们还了解了其他一些为复合事件的概率设定边界的简化假设。

• 蒙特卡洛算法使用随机的数字生成期望的结果（“真”）或者完全不生成结果。通常重复该算法固定次，如果没有哪次重复过程生成答案“真”，就可以得出答案为“假”的结论，从而解决手头的问题。通过对重复的次数加以选择，可以将错误得出结果为“假”的概率调整到低得令自己满意，但不能将出错的概率降到0。

4.15　参考文献

Liu [1968]是一本传统的组合学精彩之作。Graham, Knuth, and Patashnik [1989]对这一主题进行了更深的探讨，Feller [1968]则是概率论及其应用方面的经典作品。

Rabin [1976]中介绍了测试一个数字是否为质数的蒙特卡洛算法。对该算法的讨论，以及其他一些利用到随机性的有趣的计算机安全和算法问题，可以在Dewdeney [1993]中找到 。Papadimitriou [1994]中呈现了一些有关这些主题的更高深的讨论。

Dewdeney, A. K. [1993]. The Turing Omnibus, Computer Science Press, New York.

Feller, W. [1968]. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Third Edition, Wiley, New York.

Graham, R. L., D. E. Knuth, and O. Patashnik [1989]. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, Reading, Mass.

Liu, C.-L. [1968]. An Introduction to Combinatorial Mathematics, McGraw-Hill, New York.

Papadimitriou, C. H. [1994]. Computational Complexity, Addison-Wesley, Reading, Mass.

Rabin, M. O. [1976]. “Probabilistic algorithms,”in Algorithms and Complexity: New Directions and Recent Trends (J. F. Traub, ed.), pp. 21–39, Academic Press, New York.

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