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邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，是河北省地级市，河北省政府批复确定的京津冀城市群节点城市、河北省级历史文化名城、冀中南先进制造业基地和物流枢纽 [1]  。截至2020年，全市下辖4个区、12个县、代管2个县级市。 [2]  总面积12400平方千米，市区建成区面积214.84平方千米，常住人口739.52万人，城镇人口401.04万人，城镇化率54.23%。 [3-5] 

邢台地处中国华北地区、河北南部，境内京广、京九铁路，京广、京九高铁，京港澳、大广、太行山高速纵贯南北；邢和、邢黄铁路，邢衡、邢汾、邢临、青银高速横贯东西，与邢台国际内陆港、邢台机场构成了“东出西联、南承北接”的交通枢纽。 [6] 

邢台拥有3500余年建城史，距今五万至十万年前就有人类栖息繁衍，历史上曾四次建国、五次定都，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，是华夏版图上建城历史排名第三的城市 [7]  ，华北历史上第一座城市，中国最早的古都之一，历经三千多年行政建制未曾中断、城址未曾迁移。邢台古城是黄河以北地区建城最早的“第一古城”，被誉为“燕赵第一城”。 [8] 

邢台悠久的历史涌现出郭守敬、李牧、宋璟、刘秉忠等先贤，走出了郭威、柴荣、孟知祥、孟昶等帝王，千古一帝秦始皇东巡途中驾崩于邢台沙丘 [9-10]  。 邢台也是唐朝皇室祖籍地（唐祖陵） [11-14]  ，发生过尧舜禅让、胡服骑射、巨鹿之战、黄巾起义等影响中国历史进程的事件，有破釜沉舟、鹿死谁手、民脂民膏、腹背受敌等近百条成语、典故源自邢台。

3.5　简化大 O 表达式

正如我们在3.4节中看到的，通过舍弃一些常数因子和低阶项，可以简化大O表达式。我们将会看到，在分析程序时，作出这样的简化有多重要。一般来说，某个程序的运行时间来源于程序中很多不同的语句或程序段，而一小部分程序占用大量运行时间的情况也很平常（由“90-10”法则可知）。通过舍弃一些低阶项，并将相等或近似相等的项结合起来，通常能大大简化表示运行时间的大O表达式。

3.5.1　大O表达式的传递律

首先，我们要拿出考虑大O表达式时的一个实用规则。诸如≤这样的关系，就被称为传递的，因为它遵循“若A≤B，且B≤C，则A≤C”这样的法则。例如，因为3≤5，5≤10，所以我们可以确定3≤10。

而“是f的大O”这样的关系是另一种具有传递性的关系。也就是说，如果f(n)是O(g(n))，而且g(n)是O(h(n))，就有f(n)是O(h(n))。要知道原因，首先假设f(n)是O(g(n))。那么存在证物n1和c1，使得对所有的n≥n1，都有f(n)≤c1g(n)。类似地，如果g(n)是O(h(n))，就存在证物n2和c2，使得对所有的n≥n2，都有g(n)≤c2h(n)。

多项和指数大O表达式

多项式的次数是指多项式所有项中的最高指数。例如，示例3.3和示例3.5中提到的多项式T(n)的次数为5，因为其最高阶项为3n5。从我们已经阐明的两个原则（常数因子不产生影响，以及低阶项不产生影响），以及大O表达式的传递律，可知以下几点。

1. 如果p(n)和q(n)都是多项式，且q(n)的次数大于等于p(n)的次数，就有p(n)是O(q(n))。

2. 如果q(n)的次数小于p(n)的次数，那么p(n)不是O(q(n))。

3. 指数式是指形如an的表达式（其中a>1）。指数式要比多项式增长得更快。也就是说，我们可以为任一多项式p(n)证明，p(n)是O(an)。例如，n5是O((1.01)n)。

4. 反过来，对a>1，不存在指数式an为多项式p(n)的O(p(n))。

设n0是n1和n2二者中的较大值，而且令c=c1c2。我们声称n0和c为“f(n)是O(h(n))”这一事实的证物。这里假设n≥n0。因为n0=max(n1,n1)，所以我们知道n≥n1且n≥n2。因此，f(n)≤c1g(n)，且g(n)≤c2h(n)。

现在用c2h(n)替换不等式f(n)≤c1g(n)中的g(n)，就证明了f(n)≤c1c2h(n)。该不等式就证明了f(n)是O(h(n))。

示例 3.5

从示例3.3中可知

T(n)=3n5+10n4-4n3+n+1

是O(n5)，还可以从规则“常数因子不产生影响”中知道n5是O(0.01n5)。通过大O的传递律，可知T(n)是O(0.01n5)。

3.5.2　描述程序的运行时间

我们之前对程序的运行时间T(n)的定义是，程序处理大小为n的任意输入所耗费时间单位的最大值。我们还说过，要确定T(n)的准确公式，就算不是不可能，也将非常困难。通常，可以用大O表达式O(f(n))作为T(n)的上限，从而将问题大大简化。

例如，SelectionSort程序的运行时间T(n)的上限是an2，其中a是某个常数，而且n≥1，我们将在3.6节中展示这一事实。然后可以说SelectionSort的运行时间是O(n2)。从直觉上讲，这一陈述是最为实用的，因为n2是个非常简单的函数，而且有关其他简单函数的更强陈述（比如“T(n)是O(n)”）都为假。

不过，因为大O表示法的本性，还可以说运行时间T(n)是O(0.01n2)，或O(7n2-4n+26)，或者是任何二次多项式的大O。原因在于，n2是任意二次式的大O，而根据传递律，就可以从T(n)是O(n2)这一事实得出T(n)是任意二次式的大O。

更糟的是，n2还是任意三次或更高次多项式，或者是任意指数式的大O。因此，再次利用传递性，T(n)是O(n3)，O(2n+n4)，等等。不过我们将会解释，为什么O(n2)是表示SelectionSort程序的运行时间的首选。

3.5.3　紧凑性

首先，我们一般都想要达到可以证明的“最紧”大O上界。也就是说，如果T(n)是O(n2)，我们就想作出这一表述，而不是作出“T(n)是O(n3)”这种技术上正确但更弱的表述。另一方面，这种方式又存在某种疯狂性，因为如果我们喜欢用O(n2)作为运行时间的表达式，就应该更喜欢O(0.5n2)，因为它更“紧凑”，而对O(0.01n2)的喜爱应该就更甚了。不过，因为在大O表达式中，常数因子是不产生影响的，所以通过缩小常数因子让预估运行时间“更紧凑”的尝试是没有意义的。因此，只要有可能，我们就会试着使用常数因子为1的大O表达式。

图3-4列出了一些比较常见的程序运行时间，以及它们的非正式名称。特别要注意，O(1)是表示“某个常数”的惯用简写形式，而且我们还将反复使用这种用意的O(1)。

图 3-4　一些常见大O运行时间的非正式名称

更精确地讲，如果同时满足如下两点

1. T(n)是O(f(n))；

2. 如果T(n)是O(g(n))，那么f (n)是O(g(n))也为真（通俗地讲，我们找不出这样一个函数g(n)，它至少与T(n)增长得一样快，却又比f (n)增长得慢）。

那么我们就说f (n)是T(n)的紧大O边界（tight big-oh bound）。

示例 3.6

设T(n)=2n2+3n，而且f (n)=n2。我们说，f (n)是T(n)的紧边界（tightbound）。要知道为什么，先假设T(n)是O(g(n))。然后，存在常数c和n0，使得对所有的n≥n0，有T(n)=2n2+3n≤cg(n)。那么对n≥n0，有g(n)≥(2/c)n2。因为f (n)是n2，所以可得出，对n≥n0，有f (n)≤(c/2)g(n)。因此，f (n)是O(g(n))。

另一方面，f (n)=n3不是T(n)的紧大O 边界。现在可以选择g(n)=n2。我们已经看到，T(n)是O(g(n))，不过不能证明f (n)是O(g(n))，因为n3不是O(n2)。因此，n3不是T(n)的紧大O 边界。

3.5.4　简单性

在我们选择大O边界时，另一个目标就是函数表达式的简单性。与紧凑性不同，简单性有时候是种偏好问题。不过，一般还是可以按照如下标准认定函数f (n)是简单的：

1. 它只有一项；

2. 这项的系数是1。

           int PowersOfTwo(int n)
           {
               int i;(1)            i = 0;(2)            while (n%2 == 0) {(3)                n = n/2;(4)                i++;
               }(5)            return i;
           }复制代码

图 3-5　计算一个正整数n 中因数2的数量

示例 3.7

函数n2是简单的，2n2则不是简单的，因为系数不为1；而n2+n也不是简单的，因为它包含了两项。

不过，也存在某些情况，其中大O 紧凑性的上界和简单性的边界是相互冲突的目标。简单性边界并不能说明一切，以下就是一个例子，好在这样的情况在现实中很少出现。

示例 3.8

考虑一下图3-5中的PowersOfTwo函数，它会接受一个正参数n，并计量n 被2整除的次数。也就是说，第(2)行的测试询问n是否为偶数，如果是，就在第(3)行的循环体中删除一个因数2。同样在这次循环中，我们递增i，而参数i的作用是计量我们从n原本的值中删除的因数2的个数。

设输入的大小就是n 本身的值。while循环的循环体由两条语句组成，即第(3)行和第(4)行，因此可以说执行该循环体一次所需的时间为O(1)，也就是某个与n无关的不变时间量。如果该循环要执行m次，那么花在执行循环上的总时间就将是O(m)，或者是某个与m成比例的时间量。为单独执行第(1)行和第(5)行，以及进行第一次while循环条件的测试（从技术上讲不属于任何循环迭代的一部分），还要在这个量上加上O(1)或者某个常数。因此，该程序消耗的时间是O(m)+O(1)。根据低阶项可被忽略的规则，这一时间就是O(m)，除非m=0，此时这个时间就是O(1)。换个说法就是，在输入n上所花的时间与1加上2整除n的次数是成比例的。

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