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邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，是河北省地级市，河北省政府批复确定的京津冀城市群节点城市、河北省级历史文化名城、冀中南先进制造业基地和物流枢纽 [1]  。截至2020年，全市下辖4个区、12个县、代管2个县级市。 [2]  总面积12400平方千米，市区建成区面积214.84平方千米，常住人口739.52万人，城镇人口401.04万人，城镇化率54.23%。 [3-5] 

邢台地处中国华北地区、河北南部，境内京广、京九铁路，京广、京九高铁，京港澳、大广、太行山高速纵贯南北；邢和、邢黄铁路，邢衡、邢汾、邢临、青银高速横贯东西，与邢台国际内陆港、邢台机场构成了“东出西联、南承北接”的交通枢纽。 [6] 

邢台拥有3500余年建城史，距今五万至十万年前就有人类栖息繁衍，历史上曾四次建国、五次定都，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，是华夏版图上建城历史排名第三的城市 [7]  ，华北历史上第一座城市，中国最早的古都之一，历经三千多年行政建制未曾中断、城址未曾迁移。邢台古城是黄河以北地区建城最早的“第一古城”，被誉为“燕赵第一城”。 [8] 

邢台悠久的历史涌现出郭守敬、李牧、宋璟、刘秉忠等先贤，走出了郭威、柴荣、孟知祥、孟昶等帝王，千古一帝秦始皇东巡途中驾崩于邢台沙丘 [9-10]  。 邢台也是唐朝皇室祖籍地（唐祖陵） [11-14]  ，发生过尧舜禅让、胡服骑射、巨鹿之战、黄巾起义等影响中国历史进程的事件，有破釜沉舟、鹿死谁手、民脂民膏、腹背受敌等近百条成语、典故源自邢台。

示例 3.1

让我们估算一下图3-1中所示的SelectionSort程序段的运行时间。这些语句的编号与图2-2中的编号如出一辙。这段代码的目的是要将数组A从A[i]到A[n-i]这部分中最小元素的下标赋值给small。

(2)        small = i;(3)        for(j = i+1; j < n; j++)(4)            if (A[j] < A[small])(5)                small = j;复制代码

图 3-1　选择排序的内层循环

一开始，我们需要对时间单位加以简单定义。后面我们会详细介绍这一问题，不过在这里，以下简单模式是有效的。可以将每次执行赋值语句记作一个时间单位。在第(3)行，要为for循环开头j的初始化记上一个时间单位，为测试是否有j<n记上一个单位，并为减少j记上一个单位，每次循环皆是如此。最后，每执行一次第(4)行的测试，就要记上一个单位。

首先，让我们考虑一下内层循环的循环体：第(4)行和第(5)行。第(4)行的测试总是要执行的，不过第(5)行的赋值只有在测试成功的情况下才执行。因此，该循环体会消耗1到2个时间单位，这取决于数组A中的数据。如果要采纳最坏情况，就可以假设循环体要消耗2个时间单位。我们会进行n-i-1次for循环，而每进行一次循环都要执行一遍循环体（2个时间单位），接着递增j并测试j<n（又是2个时间单位）。因此，进行循环所花的时间单位是4(n-i-1)。除了这个数字之外，我们还要加上第(2)行初始化small的1个时间单位，第(3)行初始化j的1个时间单位，以及在第(3)行第一次测试j<n 的1个时间单位（这与循环的任一次迭代的终止无关）。因此，图3-1中的程序段的总运行时间为4(n-i )-1。

将图3-1所影响数据的“大小”m 指定为m=n-i 是很自然的，因为这是它所影响的数组A[i..n-1]的长度。那么运行时间4(n-i )-1就可以表示为4m-1。因此，图3-1的运行时间T(m)就是4m-1。

3.3.4　不同运行时间的比较

假设对某个问题，可以选择使用运行时间为TA(n)=100n的线性时间程序A，以及运行时间为TB(n)=2n2的二次幂时间程序B。假设这两个运行时间是在同一特定计算机上处理大小为n的输入所花的毫秒数。2运行时间图见图3-2。

2这里A和B的关系，与归并排序和选择排序的关系没有太多不同。我们在3.10节中将会看到，归并排序的运行时间是以n logn 的速度增长的。

图 3-2　线性程序与二次幂程序的运行时间

从图3-2可知，对大小小于50的输入来说，程序B要比程序A快。当输入的大小大于50时，程序A就要更快了，而且从50这个临界点开始，输入越大，程序A相比程序B而言优势就越大。对大小为100的输入，A要比B快上2倍，而对大小为1000的输入，A要快上20倍。

程序运行时间的函数形式最终确定了我们能用该程序解决多大的问题。随着计算机速度的不断变快，与运行时间增长迅速的程序相比，那些运行时间增长缓慢的程序在可处理问题的规模上能取得更大的提高。

再次假设图3-2所示的程序运行时间是以毫秒计的，图3-3中的表格表示了在同一台计算机上，花同样的时间，使用两种程序分别能解决多大的问题。例如，假设可以接受100秒的计算时间。如果计算机的速度加快10倍，那么在100秒内能处理之前需要花1000秒去处理的问题。对算法A来说，我们现在可以解决10倍大小的问题，而对算法B来说，只可以解决3倍大小的问题。因此，随着计算机速度的持续加快，通过使用低增长率的算法和程序可以获得更为显著的优势。

图 3-3　在可用时间段函数可解决问题的大小

别在乎算法的效率，再等上几年就行了

大家可能经常听到这样的说法、不需要缩短算法的运行时间或是选择更高效的算法，因为计算机的速度每隔几年就会翻番，而且不需要多久，任何算法，不管有多低效，所花的时间都会少到没有人在意了。这一论调的出现已经有几十年的时间了，但计算资源需求上限尚未出现，因此，我们一般都不接受硬件改善可以让高效算法的研究变成无用功这种观点。

不过，也存在我们不需要过分考虑效率的情况。例如，某所学校在每学期期末都要将存储在某台计算机中的学生电子成绩表打印成纸质成绩单。该操作所花的时间大概与要报告的成绩数量成线性关系，就像假想算法A那样。如果学校更换了一台速度快上10倍的计算机，完成这项工作所花的时间就会变为原来的十分之一。不过，学校因此要扩招10倍，或是要求每个学生增加10倍的课程，这是很不现实的。计算机的提速不会影响到成绩单程序的输入大小，因为这一大小是受其他因素限制的。

另一方面，还会存在另外一些问题，我们凭借新兴的计算资源有了一些解决的头绪，不过它们的“大小”却超出了现有技术的处理能力。这样的问题包括自然语言的理解、计算机视觉（对数字化图像的理解），以及各种对人机“智能”交互的尝试。不管是通过改善算法还是通过提升机器性能，所获得的加速都将提升我们在接下来几年里处理这些问题的能力。此外，当它们变成“简单”的问题后，我们现在很难想象的新一代挑战又会替代它们摆在计算机面前。

3.3.5　习题

1. 考虑一下图2-13中的阶乘程序段，设输入大小为读取的n的值。每次执行赋值、读和写语句记为一个时间单位，每进行一次while循环条件测试记为一个时间单位，计算该程序的运行时间。

2. 为2.5节习题1以及图2-14中的程序段给出恰当的输入大小。运用上一题中的计数规则，确定这两个程序的运行时间。

3. 假设程序A花费2n/1000个时间单位，程序B花费1000n2个时间单位。对哪些n值来说，程序A花的时间比程序B少？

4. 对上一题中的两个程序，在106个、109个和1012个时间单位内能解决的问题各有多大？

5. 假设程序A花费1000n4个时间单位，程序B花费n10个时间单位，重复习题3和习题4中的练习。

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