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沧州市，河北省地级市，地处河北省东南部、河北平原东部的黑龙港流域，位于北纬37°29′～38°57′，东经115°42′～117°50′之间。东部滨临渤海，北部与天津、廊坊接壤，西部及西南部与保定、衡水毗邻，南隔漳卫新河与山东省的滨州、德州相望。

沧州市因濒临渤海而得名，市中心北距天津市120千米、北京市240千米，西南距省会石家庄220千米。沧州市辖2个市辖区，4个县级市，10个县及沧州渤海新区、沧州经济开发区、沧州高新技术产业开发区，总面积1.4万平方公里。 [1-3] 

2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。

在数学表达式中使用大O表示法

严格地讲，大O表达式在数学上正确的使用方式只有出现在“是”字后这一种情况，比如“2n2是O(n3)”。不过，在示例3.8以及本章余下的内容中，我们将直接把大O表达式当作加号以及其他算术运算符的操作数，比如表示为O(n)+O(n2)。应将这样使用的大O表达式解释成“作为大O的某个函数”。例如O(n)+O(n2)就表示“某个线性函数和某个二次函数的和”。此外，O(n)+T(n)应该解释为某个线性函数与某个特定函数T(n)的和。

n 能被2整除多少次？对每个奇数n来说，答案为0。所以对每个奇数n，都有PowersOfTwo函数花的时间为O(1)。不过，当n是2的乘方，也就是说当n对某个k而言是2k时，2能整除n的次数正好是k。当n=2k时，可以在等式两边同时取以2为底的对数，得到log2n=k。也就是说，m至多是n的对数，或者说m=O(logn)。4

4请注意，在大O表达式中说到对数时，是不需要指出底数的。原因在于，如果底数分别为a和b，那么logan=(logbn)(logab)。因为logab是个常数，所以可以看到logan 和logbn 只有一个常数因子的差别。因此，函数logxn 对于任何不同底数x 来说都互为大O，所以根据传递律，可以在大O表达式中用任意的logbn 来代替logan，其中b是不同于a 的底数。

因此，可以说PowersOfTwo的运行时间是O(logn)。这一边界满足了我们对简单性的定义。不过，还有更精确的方法来统计PowersOfTwo运行时间的上界，这就是说，它是函数f (n)=m(n)+1的大O，其中m(n)是n 被2整除的次数。如图3-6所示，该函数一点都不简单。它的值在剧烈摆动，但从没有超过1+log2n。

图 3-6　函数f (n)=m(n)+1，其中m(n)是n 被2整除的次数

因为PowersOfTwo的运行时间是O(f (n))，而logn又不是O(f (n))，所以可以说logn不是该程序运行时间的紧边界。另一方面，f (n)是紧边界，但它不简单。

运行时间中的对数

如果要考虑的算法需要处理积分（），大家可能会因为它们出现在算法的分析中而感到惊讶。计算机科学家们通常会把“logn”考虑为log2n，而不是lnn和lgn。请注意，log2n 就是将n 除以2直到得到1为止的次数，或者换句话说，是为了得到n，相乘的2的个数。大家可能很容易看出，n=2k其实和说log2n=k 是一样的，只要在两边同时取以2为底的对数即可。

PowersOfTwo函数会尽可能多次地用2整除n，而且当n 是2的乘方时，n 能被2整除的次数就是log2n。对数在对分治算法（就是在每个阶段将输入等分为两个部分，或者分为近似相等的两部分的算法，比如归并排序算法）的分析中会频繁地出现。如果我们一开始有大小为n的输入，那么将输入对半分，直到大小为1的阶段数是log2n。或者，如果n不是2的乘方，就是比log2n 大的最小整数。

3.5.5　求和规则

假设某个程序由两部分组成，一部分耗费的时间是O(n2)，而另一部分消耗的时间为O(n3)。可以将这两个大O边界“相加”，从而得出整个程序的运行时间。在很多情况下（包括上述情况），通过应用如下求和规则，可以将大O表达式“相加”。

假设已知T1(n)是O(f1(n))，而且T2(n)是O(f2(n))。此外，假设f2的增长率不大于f1的增长率，也就是说，f2(n)是O(f1(n))。那么就可以得出“T1(n)+T2(n)是O(f1(n))n ”的结论。

要证明这一规则，我们知道存在常数c1、c2、c3、n1、n2和n3，使得

1. 如果n≥n1，则T1(n)≤c1f1(n)；

2. 如果n≥n2，则T2(n)≤c2f2(n)；

3. 如果n≥n3，则f2(n)≤c3f1(n)。

设n0是n1、n2和n3中最大的那个，则当n≥n0时，(1)、(2)和(3)都成立。因此，对n≥n0，有

T1(n)+T2(n)≤c1f1(n)+c2f2(n)

如果使用(3)提供f2(n)的上边界，那么完全可以消去f2(n)，并得出

T1(n)+T2(n)≤c1f1(n)+c2c3f1(n)

因此，如果定义c为c1+c2c3，就证明了对于所有的n≥n0，有

T1(n)+T2(n)≤cf1(n)

这一命题刚好就是我们需要得出的结论——T1(n)+T2(n)是O(f1(n))。

示例 3.9

考虑一下图3-7中的程序段。该程序会使A成为n 阶单位矩阵。第(2)行至第(4)行在该n×n二维数组的每个单元中都放上0，接着第(5)行和第(6)行会在从A[0][0]到A[n-1][n-1]的对角线线上的位置中放入1。结果就形成了具有对于任意n×n 矩阵M都有如下属性的单位矩阵A。

           A × M = M × A = M(1)        scanf("%d",&n);(2)        for (i = 0; i < n; i++)(3)            for (j = 0; j < n; j++)(4)                A[i][j] = 0;(5)        for (i = 0; i < n; i++)(6)            A[i][i] = 1;复制代码

图 3-7　创建单位矩阵A的程序段

第(1)行会读取n，花的时间为O(1)，也就是某个和n值无关的固定时间量。第(6)行中的赋值语句花的时间也是为O(1)，第(5)行和第(6)行的循环要进行n次，在该循环上花的总时间就是O(n)。类似地，第(4)行中的赋值语句花的时间是O(1)。第(3)行和第(4)行的循环要进行n次，花费的总时间为O(n)。第(2)行至第(4)行的外层循环要执行n次，在每次迭代中花费的时间为O(n)，所以总时间就是O(n2)。

因此，图3-7所示程序的运行时间就是O(1)+O(n2)+O(n)，分别表示语句(1)、第(2)行至第(4)行的循环，以及第(5)行和第(6)行的循环。更正式地讲，如果以下几点同时成立：

T1(n)是第(1)行所花的时间；

T2(n)是第(2)行至第(4)行所花的时间；

T3(n)是第(5)行和第(6)行所花的时间。

那么可以得出如下结论。

T1(n)是O(1)；

T2(n)是O(n2)；

T3(n)是O(n)。

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