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沧州市，河北省地级市，地处河北省东南部、河北平原东部的黑龙港流域，位于北纬37°29′～38°57′，东经115°42′～117°50′之间。东部滨临渤海，北部与天津、廊坊接壤，西部及西南部与保定、衡水毗邻，南隔漳卫新河与山东省的滨州、德州相望。

沧州市因濒临渤海而得名，市中心北距天津市120千米、北京市240千米，西南距省会石家庄220千米。沧州市辖2个市辖区，4个县级市，10个县及沧州渤海新区、沧州经济开发区、沧州高新技术产业开发区，总面积1.4万平方公里。 [1-3] 

2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。

3.4.3　证明大O关系不成立

如果两个函数之间的大O关系成立，就可以通过找出证物来证明这种关系。然而，如果某个函数T(n)不是另一个函数f(n)的大O呢？答案就是，经常可以证明某个特定的函数T(n)不是O(f(n))。证明方法是，假设证物n0和c存在，并推理出矛盾。下面要介绍这种证明的一个例子。

示例 3.4

在前文附注栏“关于大O的谬论”中，我们声称n2不是O(n)。我们可以证明该声明，方法如下。假设n2是O(n)，然后就存在证物n0和c，使得对所有的n≥n0，都有n2≤cn。不过如果我们选择n1等于2c 和n0中较大者，就会有不等式

(n1)2≤cn1　　　　　　(3.2)

一定成立（因为n1≥n0，而且对所有的n≥n0，n2≤cn都是成立的）。

如果将不等式(3.2)两边都除以n1，就有n1≤c。然而，我们还选择了n1至少是2c。因为证物c一定为正数，所以n1不可能既小于c 又大于2c。因此，可以证明“n2是O(n)”的证物n0和c 不存在，由此可以得出结论：n2不是O(n)。

3.4.4　习题

1. 考虑以下4个函数。

f1:n2

f2:n3

对等于1、2、3、4的i 和j，分别确定fi (n)是不是O(fj (n))。要么给出证明大O关系的n0和c 的值，要么假设存在这样的n0和c，并推理出矛盾，证明fi (n)不是O(fj (n))。提示：请记住，除了2之外，所有的质数都是奇数。还要记住，质数有无数个，而合数也有无数个。

2. 有以下一些大O关系。请为每个大O关系给出可用来证明这种关系的证物n0和c。选择最小的一组证物，也就是说n0-1和c不是证物，而如果d< c，那么n0和d 也不是证物。

(a) n2是O(0.001n3)。

(b) 25n4-19n3+13n2-106n+77是O(n4)。

(c) 2n+10是O(2n)。

(d) n10是O(3n)。

(e) * log2n是

3. * 证明：如果对所有的n有f(n)<g(n)，那么f(n)+g(n)是O(g(n))。

4. ** 假设f (n)是O(g(n))，而且g(n)是O(f (n))。那么f (n)和g(n)之间有什么关系？是不是一定有f (n)=g(n)？随着n 趋近无穷大，f (n)/g(n)的极限是否一定存在？

证明大O关系不成立的模板

证明函数T(n)不是O(f (n))的常见证明过程如下。示例3.4就展示了这样的证明过程。

1. 首先假设存在证物n0和c，使得对所有的n≥n0，都有f (n)≤cg(n)。这里，n0和c 是表示未知证物的符号。

2. 定义特定的整数n1，用与n0和c 相关的形式表示（例如，在示例3.4中，我们选择的是n1=max(n0,2c )）。该n1是用来证明T(n1)≤cf (n1)的n 的值。

3. 证明，对于这个选定的n1，有n1≥n0。这一部分是非常简单的，因为我们在第(2)步中选择的n1至少是n0。

4. 声明因为有n1≥n0，所以一定有T(n1)≤cf (n1)。

5. 通过证明对我们选择的这个n1有T(n1)>cf (n1)，从而推导出矛盾。选择与c 有关的n1可以让这个部分变得很简单，就像示例3.4中所做的那样。

3.5　简化大 O 表达式

正如我们在3.4节中看到的，通过舍弃一些常数因子和低阶项，可以简化大O表达式。我们将会看到，在分析程序时，作出这样的简化有多重要。一般来说，某个程序的运行时间来源于程序中很多不同的语句或程序段，而一小部分程序占用大量运行时间的情况也很平常（由“90-10”法则可知）。通过舍弃一些低阶项，并将相等或近似相等的项结合起来，通常能大大简化表示运行时间的大O表达式。

3.5.1　大O表达式的传递律

首先，我们要拿出考虑大O表达式时的一个实用规则。诸如≤这样的关系，就被称为传递的，因为它遵循“若A≤B，且B≤C，则A≤C”这样的法则。例如，因为3≤5，5≤10，所以我们可以确定3≤10。

而“是f的大O”这样的关系是另一种具有传递性的关系。也就是说，如果f(n)是O(g(n))，而且g(n)是O(h(n))，就有f(n)是O(h(n))。要知道原因，首先假设f(n)是O(g(n))。那么存在证物n1和c1，使得对所有的n≥n1，都有f(n)≤c1g(n)。类似地，如果g(n)是O(h(n))，就存在证物n2和c2，使得对所有的n≥n2，都有g(n)≤c2h(n)。

多项和指数大O表达式

多项式的次数是指多项式所有项中的最高指数。例如，示例3.3和示例3.5中提到的多项式T(n)的次数为5，因为其最高阶项为3n5。从我们已经阐明的两个原则（常数因子不产生影响，以及低阶项不产生影响），以及大O表达式的传递律，可知以下几点。

1. 如果p(n)和q(n)都是多项式，且q(n)的次数大于等于p(n)的次数，就有p(n)是O(q(n))。

2. 如果q(n)的次数小于p(n)的次数，那么p(n)不是O(q(n))。

3. 指数式是指形如an的表达式（其中a>1）。指数式要比多项式增长得更快。也就是说，我们可以为任一多项式p(n)证明，p(n)是O(an)。例如，n5是O((1.01)n)。

4. 反过来，对a>1，不存在指数式an为多项式p(n)的O(p(n))。

设n0是n1和n2二者中的较大值，而且令c=c1c2。我们声称n0和c为“f(n)是O(h(n))”这一事实的证物。这里假设n≥n0。因为n0=max(n1,n1)，所以我们知道n≥n1且n≥n2。因此，f(n)≤c1g(n)，且g(n)≤c2h(n)。

现在用c2h(n)替换不等式f(n)≤c1g(n)中的g(n)，就证明了f(n)≤c1c2h(n)。该不等式就证明了f(n)是O(h(n))。

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